 Rudi Mathematici

Rivista fondata nell’altro millennio

Numero 320 – Settembre 2025 – Anno Ventisettesimo

No, non abbiamo sbagliato pagina per lo “Zugzwang!”: il gioco in copertina lo ha inventato Bruce Sterling (che gioca a scacchi e scrive bene, secondo l’opinione dei più; non un gran che come disegnatore, secondo noi). Sappiamo che per i pedoni il colore non conta, ma non sappiamo cosa succeda quando un pedone arriva in ottava; viene promosso, simboleggiando l’imborghesimento del rivoluzionario? Si muove come una dama, assumendo il ruolo dell’intellettuale organico? Si può catturare solo con un doppio attacco, raffigurando il passaggio alla clandestinità? Se qualcuno vuole provare ad analizzarlo, ci faccia sapere cosa viene fuori, oltre al “È dura, per i rivoluzionari, arrivare al potere...”.

1.    Fenomenologia dell’eroe

“Sventurata la terra che ha bisogno di eroi.”[1]

(Brecht)

Concedendo alla famosa frase che Brecht fa dire a Galileo un certo grado di verità, come dovremmo giudicare il fatto che, da un po’ di tempo a questa parte, i film che hanno maggior successo di pubblico sono quasi immancabilmente storie di supereroi? Il mondo si è forse trasformato in una landa super-sventurata?

Come sempre, non abbiamo la minima idea di quale possa essere la risposta; certo, potremmo subito premettere che la nostra osservazione è necessariamente scherzosa, che non vale neppure la pena tentare una discussione, non fosse altro perché tra gli eroi veri e i supereroi dei fumetti corre una distanza abissale, non c’è proprio possibilità di confronto. Tanto per cominciare, per fare il supereroe ci vogliono i superpoteri. D’accordo, ci sono anche diversi personaggi che, pur essendo supereroi, non sembrano avere veri e propri superpoteri: Batman e Ironman, ad esempio, non hanno superpoteri propriamente detti, a meno di considerare tali le montagne di soldi che entrambi hanno a disposizione. E i soldi, inutile specificarlo, saranno sicuramente dei poteri straordinari, ma del tutto reali, niente affatto fantascientifici. Ma in ogni caso, parecchi supereroi di “super” non hanno quasi niente, come Robin, o hanno delle caratteristiche talmente surreali che saranno pure super, ma che è davvero difficile utilizzare: Silver Surfer è potentissimo, ma la sua caratteristica principale è quella di viaggiare nel cosmo su una tavola da surf. Comunque, se sospettate che questa sia la cosa più ridicola mai uscita dalla mente perversa dei creatori di supereroi, avete ancora molta strada da fare e molti fumetti da leggere. Sappiate che prima o poi potreste incontrare Jubilee, che ha l’incredibile potere di sparare dalle dita scintilline colorate, o il possente Bouncing Boy, che quando vuole può gonfiarsi come un pallone e abbattere nemici come una boccia da bowling abbatte i birilli. Ma ci sono anche Matter-Eater Lad, che riesce a mangiare e a digerire qualsiasi cosa, o il fenomenale Arm-Fall-Off Boy, che può staccarsi le braccia (di solito ne stacca uno e lo usa come clava), per non parlare di Dogwelder, che ha la suprema abilità di saldare cadaveri di cani sulle facce dei cattivi.

Dogwelder

Siamo certi che personaggi del genere non siano quelli che più spopolano tra gli appassionati, però resta significativo che caratteristiche eccezionali hanno sempre una grande presa sul pubblico. E non si può dire neppure che sia una moda passeggera, figlia solo di questi tempi strani e complicati che ci tocca percorrere: l’eccezionalità è quasi per definizione la caratteristica principale dell’eroe, tant’è che se si abbandona l’improbabile futuro per rifugiarsi nel passato remoto, si trovano a ogni passo i corrispondenti di quel tempo dei supereroi del nostro tempo: i miti.

A rivestire il ruolo dei supereroi, nella mitologia greco-romana, c’erano due o tre classi ben distinte: gli dèi, i semidei e gli eroi. In verità si tratta di una classificazione molto approssimata, e sarebbe abbastanza facile demolirla; gli esseri più o meno leggendari erano tanti e tali che non si possono ragionevolmente far rientrare in queste sole tre categorie: fauni, centauri, titani, ciclopi, ninfe (di tutti i tipi possibili, associate a quasi ogni possibile luogo del pianeta), e tutta una pletora di esseri mostruosi o animaleschi, che al giorno d’oggi sarebbero più probabilmente classificati sotto l’etichetta di super-criminali. Però la tripartizione resta utile, perché in qualche modo riassume le tipologie di coloro che poi hanno trasmesso le caratteristiche al generico “eroe” dei giorni nostri.

Perché, in realtà, c’è poco da fare: anche senza abitare sull’Olimpo o saltapicchiare sulle ragnatele tese fra i grattacieli di New York, il tema in comune è sempre lo stesso: l’eroe, quello che fa fremere il cuore delle fanciulle e suscita l’ammirazione sconfinata dei giovinetti. In realtà, è anche vero che “eroe” è parola fin troppo vasta: l’origine del concetto è verosimilmente guerriera, con l’appellativo che ben si attaglia a personaggi dalla straordinaria capacità di far fuori i nemici, dotati di eccezionali capacità di coraggio e di perizia nel fare strage indiscriminata dei cattivi. Solo che così si comincia subito a vedere uno dei problemi più seri, quando si cerca di trovare una definizione passabile di “eroe”: dal punto di vista dei nemici, l’eroe è tutt’altro che benemerito, anzi. Non è un eroe, è il più pericoloso dei cattivi: è la feccia da eliminare dalla faccia della terra, altro che qualcuno da ammirare e premiare.

Eracle

Il relativismo è quasi inevitabile, quando si parla di eroismo. Anzi, a ben vedere, si potrebbe anche concludere che, anziché progredire con saggia e moderata obiettività, con il passare del tempo nelle narrazioni eroiche siamo un po’ peggiorati. Il più famoso e antico libro di guerra dell’Occidente, l’Iliade, è decisamente più posato e obiettivo di tutto quanto è stato prodotto nei tempi successivi, specialmente nei film d’azione contemporanei. La trama standard di questi ultimi prevede l’ammazzamento, durante le due ore di proiezione, di diverse dozzine di nemici che spesso hanno solo il compito di occupare la scena per i tre secondi necessari a stramazzare al suolo dopo essere stati colpiti da una pistolettata dell’eroe. Il super-cattivo sopravvive invece fino alla scena madre finale, dove schiatterà solo a gran fatica e con grande profluvio di effetti speciali, ma la sua morte sarà tanto feroce quanto liberatoria sia per l’eroe che per il pubblico in sala (a meno che la produzione sia così ottimista da prevedere già un secondo capitolo della saga, nel qual caso al supercattivo si riserva una finale semi-aperto, in attesa della realizzazione de “L’Eroe 2: la vendetta”).

Nell’Iliade, almeno, per quanto non sia certo un racconto in cui manchino fatti di sangue, c’è un po’ meno assolutismo: che si tifi per i Troiani o per i Greci, è quasi impossibile non riconoscere sia ad Achille che a Ettore la dignità di “eroe”. E, allo stesso tempo, è difficile anche per un tifoso degli Achei non stimare più Ettore che quel mascalzone di Agamennone o, dall’altro lato, non apprezzare più la saggezza di Ulisse rispetto alla spudorata fortuna e certificata vigliaccheria di Paride.

L’appartenenza dell’eroe a una parte combattente porta a situazioni complesse anche fuori dal mito e dai fumetti. Non solo è tutt’altro che raro che l’eroe di una fazione non sia considerato tale dalla controparte, ma spesso viene trattato proprio da criminale, e a quel punto a fare la differenza sono solo le narrazioni che lo riguardano. È difficile che le scolaresche italiane impegnate nello studio del patrio Risorgimento possano negare a Giuseppe Garibaldi o a Nino Bixio il titolo di eroe, visto che sono tra i maggiori artefici dell’unità nazionale: ma è altrettanto innegabile che per lungo tempo e per molte persone, erano nient’altro che avventurieri, se non proprio criminali.

Riepilogando: l’eroe standard deve avere doti di eccezionalità, coraggio straordinario, sprezzo del pericolo, un ideale a cui tendere, dedizione completa a una causa. E deve averle in grado superiore alla media, perché il vero eroe, per poter essere classificato degnamente come tale, deve brillare da solo, sulla vetta della considerazione del popolo: esistono casi in cui si concede il titolo di eroi a un gruppo numeroso di persone, ma sono casi eccezionali. Insomma, è evidente la difficoltà di saldare due esigenze quasi contrapposte: l’eroe deve essere sia unico, sia rappresentante e bandiera di una fazione, quando non di un’intera nazione.

Una rara eccezione

Come se ciò non bastasse, un eroe veramente degno di cotanto titolo dovrebbe anche morire per la causa. Certo, è un prezzo molto alto, e in ultima analisi non è strettamente obbligatorio, ma è certo che dà un enorme lustro alla causa eroica. In casi estremi, come le guerre molto connotate da odio reciproco, come quelle religiose, ogni caduto diventa automaticamente santo o martire, e un eroe che si rispetti difficilmente rinuncerà a certi epiteti solo per arrivare vivo a una noiosa vecchiaia. Senza contare che, oggettivamente, per i martiri la via della gloria è assai più facile: a loro è sufficiente morire, e tanto basta. Gli eroi invece, se vogliono essere tali, devono fare un gran lavoro anche prima della dipartita, e solo alla fine gli è lecito morire (possibilmente di una morte ingiusta e straziante). Con queste premesse, è facile dedurre come l’intelligenza non sia una dote essenziale per caratterizzarsi come eroe: ma attenzione, questo non significa certo il contrario, e cioè che un eroe debba essere necessariamente stupido, tutt’altro. L’intelligenza è merce rara e preziosa, perché aiuta sempre, anche quando si intraprendono azioni poco intelligenti; diciamo solo che, per diventare eroe, non è dote sufficiente, e spesso neppure necessaria.

Così, la frase che Brecht fa dire a Galileo diventa subito chiara: gli eroi spuntano come funghi in tempi difficili, dove abbondano guerre, ammazzamenti e ingiustizie. E già questo basterebbe a trasformare quella frase in niente altro che una parafrasi della celebre maledizione cinese “Che tu possa vivere in tempi interessanti”, perché i tempi sereni e pacifici non sono interessanti. Belli da vivere, ma storicamente noiosi, e in quei frangenti gli eroi restano quasi sempre solo potenziali, sconosciuti, perché restano di fatto disoccupati, e dei disoccupati non si interessano né i poeti epici di una volta, né i mezzi di comunicazione moderni. Aggiungendo l’ipotesi al contorno che, quando invece i tempi storici sono davvero interessanti, per venire fuori dai guai sia necessario l’intervento di gente dotata di grande coraggio e di buone intenzioni, disperata al punto di sacrificarsi per la causa e non necessariamente dotata di elevate capacità di raziocinio, ecco che l’asserzione brechtiana diventa almeno comprensibile, che la si condivida o meno.

Dobbiamo però ammettere che questa disamina è nata non tanto per analizzare come e quando qualcuno possa meritarsi il titolo di eroe, e tantomeno per criticare o glorificare un autore tedesco di teatro del secolo scorso, ma solo da una banale questione relativa ai rischi di impatto delle omonimie. Pensate a dei futuri genitori che devono scegliere il nome di nascituri e nasciture; è indubbio che alcuni di questi dovranno usare una prudenza speciale. Non saranno molti coloro che si chiamano Galilei di cognome, ma esistono cognomi che sono allo stesso tempo abbastanza comuni e importanti dal punto di vista storico. La più famosa cantante italiana di musica leggera, Mina, di cognome fa Mazzini: immaginiamo che se ai suoi genitori fosse nato un figlio maschio, difficilmente avrebbero deciso di chiamarlo Giuseppe, per evitargli delle ossessive osservazioni sul suo celebre omonimo. Ancor più limitata la scelta per le famiglie che si chiamano Magno; nomi come Alessandro, Carlo, Pompeo e altri ancora sarebbero certo non legalmente proibiti, ma forse un po’ pesanti da portarsi addosso.

Poi, certo, il mondo è bello perché è vario, come recita un vecchio proverbio, e il mondo abbonda di genitori poco previdenti o, peggio, a cui piace giocare con una cosa importante come il nome da dare a un figlio. O magari solo perché il personaggio famoso di riferimento non è poi così famoso, o legato a un nome troppo comune e attrattivo.

Pensate a William Wallace, eroe nazionale scozzese del XIII secolo; per molto tempo ha seguito il destino di molti eroi nazionali, specie se vecchi di quasi un millennio: ben presente nel ricordo dei suoi conterranei, ragionevolmente noto agli esperti di storia della nazione che combatteva (nel caso specifico, l’Inghilterra), ma quasi sconosciuto al resto del mondo. Poi, nel 1995, Mel Gibson ha interpretato e diretto il film Braveheart, raccontandone le imprese (in maniera molto spettacolare e molto romanzata) e l’ha reso famoso, almeno per un certo tempo, anche al di fuori delle isole britanniche.

Due versioni di William Wallace (1270-1305)

Pur avendo vissuto per soli 35 anni, di Wallace non si hanno notizie certe fino al 1297, quando era ormai un vigoroso ventisettenne. Le prime gesta sembrano essere di natura essenzialmente privata (scontro e uccisione di un paio di soldati inglesi, vendetta dell’uccisione del padre); ma in giro comincia comunque a spirare un diffuso senso di ribellione da parte degli scozzesi nei confronti del trono di Londra, anche perché a quei tempi Scozia e Inghilterra erano separate e nemiche, e per di più il trono scozzese in quel periodo era vacante, ed Edoardo d’Inghilterra avanzava pretese su di esso.

William Wallace diventa famoso grazie alla battaglia di Stirling Bridge, dove, insieme a Andrew De Moray, riesce a sconfiggere una considerevole armata di diecimila inglesi pur essendo in grande inferiorità numerica, approfittando della cattiva manovra inglese nell’attraversare il ponte sul fiume Forth. La battaglia, dalla grande connotazione eroica vista la differenza delle forze in campo, viene subito considerata come l’esempio eclatante della resistenza scozzese, ma a lungo andare non sarà sufficiente a chiudere la guerra, anzi. Seguiranno molti scontri e imprese di guerriglia, ma dal punto di vista politico Wallace non si mostra particolarmente acuto: il suo errore maggiore è quello di dichiararsi favorevole a cedere il titolo di “Guardiano di Scozia” – e implicitamente, insieme ad esso, anche la guida militare della ribellione scozzese – a favore di Robert Bruce, che però, nel giro di pochi anni, accetterà di fare un accordo con gli inglesi e, grazie a questo, a salire al trono di Scozia con il beneplacito di Londra. Per quanto riguarda Wallace, percorrerà tutto il cursus honorum degli eroi, visto che viene ritenuto traditore e criminale, ricercato dalla corona inglese e finalmente catturato: acquisisce anche il titolo di martire perché gli inglesi, che già allora avevano una certa propensione allo splatter, lo processarono alla bell’e meglio, lo giudicarono colpevole di tutte le colpe possibili e immaginabili, e passarono subito all’esecuzione. Prima lo impiccarono, poi lo squartarono diligentemente, piazzando la testa sui rostri del London Bridge e i brandelli del suo corpo fatto a pezzi in diverse località del regno.

Esempio perfetto d’eroe, no? L’unico, veniale difetto sta proprio nel nome: pur vivendo in tempi in cui i cognomi non si sono ancora pienamente affermati e gli eroi sono identificati più che altro da soprannomi altisonanti ed evocativi (Cid Campeador, Matamoros, Gattamelata, dalle Bande Nere, Fortebraccio, e cento altri) a lui tocca di essere identificato solo dall’ascendenza gallese: nel gaelico scozzese dei suoi tempi viene chiamato Uilleam Uallas, mentre i Normanni lo chiamano William le Waleys – in sostanza, Guglielmo il Gallese – che non è gran cosa. Ma fino a un certo punto; i soprannomi che indicano l’ancestrale provenienza geografica sono comunissimi, e talvolta riescono a svolgere perfettamente il loro compito perfino con un certo lirismo (Don Quijote de la Mancha, Braccio da Montone, perfino Brancaleone da Narni, e mille altri); solo che a lui tocca la sfortuna che “Wallace” diventa in breve così popolare che si piazza stabilmente tra i cognomi inglesi più diffusi. Non parliamo poi del nome “William” che, forse a causa di Guglielmo il Conquistatore o di William Shakespeare, è stabilmente sul podio dei nomi maschili inglesi più diffusi, e probabilmente lo è stato continuamente per un intero millennio.

Insomma, dal punto di vista della diffusione, non c’è troppa differenza tra William Wallace in Scozia e Mario Rossi in Italia, Gabriel Martin in Francia e José Garcia in Spagna. Così, era quasi inevitabile che saltasse fuori un matematico scozzese con la doppia sventura di avere un nome che allo stesso tempo è condiviso con un eroe nazionale e comunque del tutto comune.

William Wallace, l’altro.

William Wallace nasce a Dysart, nella penisola scozzese di Fife, il 23 Settembre 1768; quasi un mezzo millennio esatto dopo il condottiero suo omonimo. I suoi non sono natali particolarmente fortunati: la sua famiglia, se non modesta, non è certamente tale da potersi definire benestante. Il padre Alexander lavora cuoio e pelli, e William non riceve praticamente nessun tipo di istruzione fino agli undici anni: verso i sedici anni, lo troviamo al lavoro come apprendista nella bottega di un rilegatore.

Ha comunque spirito di iniziativa e una evidente predisposizione alla matematica. Nel 1784 la sua famiglia si trasferisce a Edimburgo, e dal punto di vista di Wallace è certo un colpo di fortuna: studia matematica da autodidatta, si imbuca alle lezioni dell’università pur senza avere lo status di studente, si mantiene lavorando presso un libraio e facendo lezioni di matematica private. In breve, i professori dell’università lo notano, ne capiscono le potenzialità, e lo esortano a studiare seriamente, presagendo per lui una buona carriera accademica.

Così, finisce che a ventisei anni William Wallace insegna alla Perth Academy[2], si sposa, comincia a mettere in cantiere il primo dei suoi quattro figli, e soprattutto comincia a pubblicare scritti di matematica. I suoi articoli finiscono addirittura nell’Encyclopaedia Britannica, e naturalmente tornano ad attrarre l’attenzione del mondo accademico verso Wallace. Trova un posto da professore al prestigioso Reale Collegio Militare di Sandhurst[3], non lontano da Londra, e vi resta come professore ordinario fino al 1819.

Cinque secoli prima, la permanenza di uno scozzese di nome William Wallace a Londra è stata assai più breve e finita in maniera orripilante; quella del nostro matematico sembra essere stata lunga e senza particolari problemi. Il tempo, si sa, sana molte ferite, e i soldati scozzesi e quelli inglesi, in quei primi anni dell’Ottocento, erano tutt’altro che nemici: con ammirevole affiatamento combattevano fianco a fianco contro Napoleone, piuttosto che darsele fra loro di santa ragione. Ma l’orgoglio nazionale scozzese persiste, e quando nel 1819 finalmente si libera la cattedra di matematica che John Leslie aveva tenuto a lungo all’Università di Edimburgo, sono molti gli accademici della maggiore università di Scozia a trovare strano che quello che era forse diventato il maggior matematico scozzese continuasse a lavorare nel cuore d’Inghilterra, soprattutto se la suddetta maggiore università scozzese aveva bisogno di un professore di matematica.

Non è difficile intuire come vada a finire: nonostante concorrenti di alto lignaggio (Charles Babbage, tanto per citarne uno) e la rituale guerriglia che si scatenava sempre tra più fazioni quando si trattava di affidare una cattedra prestigiosa a un nuovo professore, Wallace diventa titolare della cattedra di matematica a Edimburgo nel 1819. Ha ormai superato la cinquantina, e sarebbe lecito aspettarsi che si riposasse un po’ sugli allori, ma in realtà si dimostra presto più solerte e battagliero del previsto: come buon esempio, si può prendere la sua battaglia contro la notazione newtoniana nel calcolo, preferendogli e propugnando l’uso di quella di Leibniz. Pur con tutta la storica diatriba tra Scozia e Inghilterra, che un professore di matematica del Regno Unito si schierasse contro il sommo Newton era quasi una bestemmia, ma Wallace non si lasciò spaventare e continuò a difendere le sue opinioni. Si occupò di astronomia, si spese con passione per la costruzione dell’Osservatorio di Calton Hill, la collina nei pressi di Edimburgo, e in generale, per essere un matematico, sembrava avere ben presenti anche quali fossero le necessità pratiche per l’avanzamento della conoscenza scientifica.

Si rivelò essere un bravo insegnante, ma non pubblicò molte memorie: il suo forte erano gli articoli per l’Enciclopedia Britannica. Però vi sono almeno un altro paio di cose notevoli da ricordare sul suo conto. La prima, a dimostrazione del fatto che era un matematico dallo spirito pratico, è che secondo molte fonti sia stato lui a inventare il pantografo; l’affermazione non è proprio esatta perché il pantografo è strumento antico, già descritto da Erone di Alessandria; però Wallace lo migliorò grandemente, costruendo la versione che gli inglesi chiamano “eidograph” e che, non avendo trovato una traduzione ufficiale in italiano, proveremmo a tradurre con la banale “eidografo”.

Un “eidograph” di Wallace.

La seconda ragione è ancora più curiosa e, come una nemesi, è nuovamente legata a nomi e omonimie. Riguarda un bel teorema di geometria euclidea (anche se scoperto molto tempo dopo Euclide) e vede come protagonisti un triangolo, il suo cerchio circoscritto, e una inaspettata linea retta:

Chiamato, come da tradizione, ABC un triangolo generico e costruita la sua generica circonferenza circoscritta, si sceglie un altrettanto generico punto P sulla suddetta circonferenza. Da questo generico P si tracciano le perpendicolari sui lati dei triangoli (o sui prolungamenti degli stessi). I tre punti in cui queste perpendicolari incrociano i lati (indicati con i simboli FAB, FAC e FBC nella figura, ma solo perché l’immagine l’abbiamo presa dalla Wikipedia tedesca, e in tedesco i punti di piede si chiamano Fußpunkte) sono sempre allineati: giacciono quindi sempre su una retta, e questa retta si chiama Linea di Simson.

Il nome della retta discende naturalmente dal nome dello scopritore del teorema, che secondo Jean-Victor Poncelet, matematico francese specializzato in geometria proiettiva, fu appunto Robert Simson, matematico scozzese nato nel 1687 e morto nel 1768. Lo scrive nel suo libro “Propriétés Projectives”, riportando l’affermazione fatta in merito da François-Joseph Servois nel Giornale di Gergonne.

Curioso che si ritorni in Scozia, nevvero? Ancora più curioso che ricompaia l’anno di grazia 1768, che oltre ad essere l’anno di morte di Robert Simson, è anche l’anno di nascita di William Wallace: anzi, a dirla proprio tutta, la coincidenza è poco meno che perfetta, perché Wallace nasce il 23 settembre e Simson muore il 1° ottobre, sono stati contemporanei solo per una settimana esatta. Comunque, se vi piacciono le coincidenze, la migliore deve ancora arrivare: abbiamo già detto che il papà di William si chiamava Alexander, ma non abbiamo menzionato il nome della mamma, che era Janet. Per la precisione, Janet Simson.

Prima che questa sfilza di nomi vi faccia venire il mal di testa o, peggio, il sospetto di una congiura o complotto, veniamo subito al nocciolo della questione: Poncelet (e quindi Servois, prima di lui) sbagliavano alla grande: la Linea di Simson non l’ha scoperta Robert Simson; l’ha scoperta William Wallace o, se preferite, William figlio di Janet Simson.

Non si sa bene da dove possa essere nato l’errore di attribuzione. Certo, le coincidenze di luoghi, anni e soprattutto nomi fanno subito immaginare alle menti più fantasiose[4] che possa esserci qualcosa da scoprire, ma è assai probabile, se non del tutto certo, che si tratti solo di questo: un’errata attribuzione condita da una serie di curiose coincidenze.

Certo, resta abbastanza curiosa questa complicata relazione tra William Wallace e il suo nome: l’omonimia con il famoso eroe della sua patria, condita da un’eccessiva frequenza da renderlo quasi invisibile. E quando finalmente poteva vendicarsi grazie a un bell’oggetto matematico che poteva renderlo famoso come “William Wallace, il matematico che ha dato il nome alla Retta di Wallace”, si ritrova scippato da un vecchio collega con lo stesso cognome di sua madre. Di certo, anche nell’oltretomba, resterà convintissimo che i nomi – quanto e più delle parole – sono davvero importanti.

2.    Problemi

2.1   Raffreddore!

Nel senso che sono le sei di mattina e il termometro (quello serio, non quello ottimista) segna già ventisette gradi; l’aria condizionata la fa da padrona nelle stanze di lavoro e si sopravvive, ma già solo l’idea di cambiare stanza è terrorizzante. Niente di meglio che pensare a una qualche sana epidemia di raffreddore in giornate uggiose, dove l’idea di uscire da sotto il piumone non viene neanche presa in considerazione.

Bene (cioè, no, mica tanto), un po’ di gente è raffreddata e, come al solito, siamo tutti a rischio di beccarcelo.

Non solo, ma quest’anno sembra abbastanza virulento: ogni persona che se lo prende ne infetta alte due, a meno che chi viene esposto non lo abbia già fatto, nel qual caso è ormai immune.

Evidentemente, ogni persona che se lo prende, quando guarisce diventa immune, e alla fine dell’epidemia risulta che i tre quarti della popolazione se lo sono preso[5].

Quello che ci chiediamo è: in media, quante volte è esposta all’infezione ogni persona?

La cosa sembra più un Quick & Dirty che un problema, ma li risultato ci ha lasciato abbastanza sorpresi, almeno sin quando non abbiamo preso in considerazione l’immunità di gregge (che non pensavamo potesse partire, per valori così bassi); ci piacerebbe una discussione in questo senso, giusto per essere pronti per l’autunno.

2.2   (Quasi) impossibile pensata di Alice

Per ragioni che non staremo ad approfondire, di recente ci sono tornati tra le mani una serie di “problemi impossibili”; le virgolette dovrebbero farvi capire che in realtà sono risolubili, ma chiamavamo così, nella nostra gioventù (letterario-matematica: su quella anagrafica, stendiamo un velo pietoso), alcuni problemi nei quali i dati sembravano quasi completamente assenti: di solito, l’unico dato disponibile era un estremo del campo della soluzione (o due, nei casi migliori – o peggiori? Beh, dipende dai punti di vista: per noi la seconda) e, evidentemente, come espansione vi chiedevamo di esplorare l’ambiente con altre (o nessuna, se possibile) limitazioni. Bene, ci siamo chiesti se, oltre a quelli che vi avevamo proposto, ne esistessero altri: a parte i classici (il primo, a quanto sappiamo, risale a Martin Gardner), ne abbiamo trovato uno solo, e ci affrettiamo a proporvelo.

Alice ha pensato un numero (minore di cento ma, come dicevamo, fate voi…) e sostiene che sia descritto dalle risposte alle seguenti domande:

1.     Il numero è divisibile per due?

2.     Il numero è divisibile per tre?

3.     Il numero è divisibile per cinque?

4.     Il numero è divisibile per sette?

Se togliete il limite a cento poteste aver bisogno di qualche altra domanda, ma ci sentiamo di dire che dovreste aver capito come andare avanti.

Ora, Alice ha sussurrato a Doc le risposte alle domande ma Rudy, causa rumore di fondo (il condizionatore del problema precedente) e la sua leggera sordità non ha capito bene: l’unica cosa di cui è sicuro è che una delle risposte è “Sì”, ma non sa quale; sa però che questa specifica risposta gli permetterà di determinare il numero.

A che numero ha pensato Alice?

3.    Bungee Jumpers

Prima parte: Consideriamo una rete di linee e nodi tale che al più due linee si incontrano in un nodo. Queste linee devono essere colorate in modo tale che due linee adiacenti (ossia che si incontrano in un nodo) non abbiano mai lo stesso colore. Mostrate che questo è sempre possibile con tre colori, ma può essere impossibile con due.

Seconda parte: Supponiamo che al più tre linee possano incontrarsi in un nodo della rete; mostrate che le linee possono essere colorate come nella prima parte usando quattro colori, ma può essere impossibile farlo usandone tre.

La soluzione, a “Pagina 46”

4.    Soluzioni e Note

Settembre!

Va bene, in sordina vi facciamo uno scherzetto e saltiamo un mese di soluzioni. Non vi preoccupate per quello che ci avete inviato: lo troverete nel numero di ottobre. Alla prossima!

5.    Quick & Dirty

Considerato che il triangolo è equilatero di area 1, che D è il punto medio di AC e E è il punto medio di DB, qual è l’area del triangolo ABE.

Il triangolo AEC, avendo base AC pari a quella del triangolo originale e altezza DE pari alla metà dell’altezza del medesimo triangolo (per costruzione del punto E) ha area metà del triangolo ABC. I due triangoli ABE e BCE sono congruenti, quindi hanno aree uguali con somma pari a 1/2. Quindi, l’area di uno di loro vale 1/4.

6.    Zugzwang!

Recentemente, per motivi che sarebbe troppo lungo spiegare, abbiamo ripreso in mano alcuni vecchi Zugzwang!, e ci siamo accorti che, nel numero 50 (Marzo 2003... incredibile, come passa il tempo) avevamo presentato un gioco di nome Archimede, che ci risultava essere l’unico ad essere giocato su una scacchiera 8×8 con i due giocatori agli angoli opposti[6].

Come al solito, anche se ci sono voluti un mucchio di anni, siamo ben felici di essere smentiti.

6.1   Le Torri del Potere

...piuttosto deboluccio, come potere, come avremo modo di vedere. Ma andiamo con ordine.

Il gioco ci risulta inventato nel 1976 dal grande Michael Baldwin, che lo pubblica (in UK/USA) con il nome di Tower of Power.

E in Francia con il nome di Tour.

E in Olanda con il nome di Rupsenoorlog (no, non ne abbiamo la più pallida idea).

Siccome ci pare si stia esagerando, non ci inventiamo un nuovo nome anche se, come vedrete, la meccanica del gioco potrebbe dare adito a salaci commenti coinvolgenti alcuni politici (e ponti, non torri, ma dategli tempo).

Tanto per cominciare, vi servono una scacchiera 8×8 e 15 pedine per ogni colore; e siccome appena dico “quindici” voi dite “Aha! Numero triangolare!”, i pezzi vengono disposti sulla scacchiera come nella figura. Come al solito, ci si mette d’accordo su chi comincia.

La “mossa” si compone di due parti: nella Pars Construens scegliete una fila di pezzi (orizzontale, verticale o diagonale) e, a una delle estremità della fila, create una Torre impilando i pezzi (anche non tutti) della fila scelta. Passate quindi alla seconda parte della mossa.

Nella Pars Destruens scegliete una direzione (diagonale, verticale o orizzontale) e fate cadere la torre in quella direzione, nel senso che distribuite in quella direzione i pezzi della vostra torre, uno per casella, lasciando il pezzo più basso nella sua casella originaria. Evidentemente, possono succedere un mucchio di cose.

Una torre non può crollare al di fuori della scacchiera: in questo caso, si lascia una torre piccola sull’ultima casella agibile formata da tutte le pedine che sarebbero “cadute fuori” e la si fa cadere (subito) in una direzione (sempre a vostra scelta) nella quale possa crollare.

Se una torre crolla su un vostro pezzo, forma una piccola torre di due pedine, che crolla subito (attenti, che può scatenarsi una reazione a catena...).

Se una torre crolla su una pedina avversaria, prendete la pedina (e mettete la vostra, data dal crollo della torre, nella casella precedentemente occupata dalla pedina avversaria).

Se una torre crolla su una torre avversaria, forse avete sbagliato qualcosa: le torri crollano appena costruite, quindi non ci possono essere torri avversarie quando muovete voi.

Oh, dimenticavamo: vincete quando il vostro avversario “non può più muovere”: o perché ha finito i pezzi (li avete mangiati tutti) o perché i suoi pezzi restanti sono tutti isolati in tutte le direzioni e non possono costruire torri.

A parte l’esserci divertiti da matti inventando i nomi della Pars Construens e della Pars Destruens (gli originali erano probabilmente il risultato di un titanico sforzo di fantasia: “Prima Fase” e “Seconda Fase”), quello che ci piace è il fatto che tra la costruzione e la distruzione le direzioni possono benissimo essere diverse…

Se provate, fateci sapere.

7.    Pagina 46

Prima parte: Daremo due soluzioni della prima parte; la prima è più intuitiva, mentre la seconda verrà utilizzata nella seconda parte.

Prima soluzione: Siano 1, 2 e 3 i colori a disposizione; dato che al più due linee si incontrano in un nodo, ogni parte connessa della rete è un cammino poligonale aperto o chiuso. Qualsiasi cammino aperto può essere colorato con due colori alternandoli.

La stessa regola si applica ad un cammino chiuso con un numero pari di lati; se P è un cammino chiuso con un numero di lati dispari 2m+1, possiamo colorare 2m lati con il metodo visto qui sopra, utilizzando per l’ultimo lato il terzo colore a disposizione.

Quindi, condizione necessaria e sufficiente affinché una rete sia colorabile con soli due colori è che non contenga al suo interno cammini chiusi con un numero dispari di lati.

Seconda soluzione: Si scelga una linea del grafo e la si colori con il colore 1; quindi, si scelga un’altra linea del grafo e la si colori con il colore 2. Si proceda in questo modo, colorando alternativamente le linee.

Supponiamo si debba colorare una generica linea L; per ipotesi, si hanno al più due linee che si dipartono dagli estremi di L; queste due linee potrebbero già essere state colorate ma, avendo a disposizione tre colori, c’è almeno un colore ancora disponibile per colorare L; quindi, il processo può essere portato avanti sin quando non è colorato l’intero grafo.

Necessari (sopra) e sufficienti (sotto).

Seconda parte: Siano i colori a disposizione 1, 2, 3 e 4. È facile trovare degli esempi (come quello nella prima parte della figura sopra) per i quali sono necessari quattro colori. Mostriamo ora che quattro colori sono anche sufficienti.

Come nella seconda soluzione della prima parte, iniziamo colorando una linea del colore 1, poi procediamo colorando altre linee. Supponiamo, all’n-esimo stadio del processo, di aver scelto la linea AB: per ipotesi, dai punti A e B partiranno al più altre due linee, quindi c’è un colore disponibile per AB a meno che siano già stati utilizzati tutti e quattro i colori per le quattro linee che si dipartono da A e da B, come mostrato nella seconda parte della figura.

Se non ci sono linee uscenti da C, possiamo cambiare il colore di BC in 1 o 2, liberando quindi il colore 3 per colorare AB; nello stesso modo possiamo procedere su BD.

Ma se siamo nella condizione indicata nella seconda parte della figura con le due linee uscenti da C (e da D) colorate come 1 e 2, la cosa non è possibile.

Sia allora P il cammino più lungo possibile partente da A con la caratteristica di avere i suoi segmenti alternativamente colorati come 1 e 3. Sono possibili tre casi:

1.     P termina in B.

2.     P termina in D.

3.     P non termina né in B né in D.

I tre casi sono illustrati nella figura, dove il percorso P è indicato in rosso.

Nel secondo e nel terzo caso, possiamo scambiare tra di loro i colori 1 e 3 lungo il percorso P; le linee adiacenti risulteranno ancora colorate diversamente una dall’altra, ma sarà possibile utilizzare il colore 1 per colorare AB.

Nel primo caso, sia Q il più lungo cammino formato da segmenti colorati alternativamente con i colori 1 e 3 partente da D; questo percorso non potrà concludersi in nessuno dei nodi indicati con una lettera: se scambiamo tra di loro i colori 1 e 3 lungo Q, il colore del segmento BD potrà diventare 1, liberando quindi il colore 4 per colorare AB.

In tutti i casi possibili, quindi, possiamo colorare AB. Estendendo il procedimento all’intera rete, questa diventa colorabile con quattro colori.

Nota: Nello stesso modo visto qui sopra si può dimostrare che se in un nodo si incontrano al più m=2k archi, allora per colorare il grafo bastano 3k colori; se in un nodo si incontrano al più m=2k+1 archi, allora per colorare il grafo bastano 3k+1 colori.

8.    Paraphernalia Mathematica

Confessiamo, nella prima parte di questa serie, avevamo nascosto sotto uno tsunami di parole in inglese un’informazione importante: i vari change sono permutazioni.

La vediamo qui.

8.1   Fra Martino je spiccia casa – Mi fai un disegnino?

Quando vi abbiamo detto che i vari extent sono l’effetto di poche permutazioni applicate una per volta al change, forse a qualcuno di voi è venuto il dubbio che il tutto si potesse rappresentare attraverso un qualche grafico; la risposta è affermativa, e ci permette di rivedere un nostro vecchio amico. Prendiamola formalmente.

Un grafo di Cayley a b campane ha ai suoi vertici tutti i changes delle b campane e due dei suoi vertici sono connessi da un arco etichettato con una data transition solo se questa è una transition tra i due vertici; questo implica che il numero dei vertici sia b!. Il numero delle differenti etichette sugli archi (insomma, il numero delle differenti transition) è pari a F(b)–1, dove F(b) è il b-esimo numero di Fibonacci; infatti, se t(x) rappresenta il numero di transition distinte di x campane, si verifica facilmente che t(2)=1 e che t(3)=2; per induzione, assumiamo come dimostrata la cosa per n<k e calcoliamo t(k), con k≥4. Dato che vi sono t(k–1) transition disponibili posto che sia fissata la posizione k, t(k–2) transition che scambiano tra di loro k e k–1 (e almeno un’altra coppia) e una singola transition (k–1, k), si ha:

t(k) = t(k–1) + t(k–2) + 1 =

= F(k–1) – 1 + F(k–2) – 1 + 1 = F(k) – 1

E abbiamo un arco di ogni tipo che incide su ogni vertice (ossia, a ogni vertice potete in teoria applicare qualsiasi transition).

Cominciamo con un esempio facile: nella figura vedete il grafo di Cayley per 3 campane; da quanto visto sopra, sappiamo che questo carillon deve ammettere t(3)=2 transition, A=(12) e B=(23); i change possibili sono 3!=6 e su ogni vertice devono incidere due archi; quindi, abbiamo un esagono. Semplice, no?

“Ehm... Rudy, ti sei dimenticato di etichettare i lati...” No. I lati non si etichettano: data la simmetria dell’aggeggio, potete partire da quello che preferite etichettandolo come round (vi ricordate, che è il primo e l’ultimo change? Insomma, da dove partite e dove finite) e partire da quello. Se proprio volete fare i tradizionalisti, per il round di solito si sceglie il vertice in alto a sinistra dell’esagono.

Si dimostra (tranquilli, non lo facciamo) che la ringing sequence per b≥3 di lunghezza almeno 4 corrisponde ai cicli (orientati) nel grafo di Cayley a b campane da un vertice prefissato (questo significa che contiene ogni vertice al più una volta), ossia una ringing sequence è un extent se e solo se il ciclo corrispondente è un cammino Hamiltoniano del grafo.

A ogni ciclo nel grafo di Cayley corrispondono due cicli orientati (potete farlo sia in un senso che nell’altro), e le due ringing sequences dei cicli orientati sono l’una l’inversa dell’altra. Ad esempio, nel nostro grafo delle tre campane, potete percorrere l’esagono in senso orario o in senso antiorario; questo vi genera le due sequenze (AB)³ e (BA)³, che sono (dato che sono percorsi Hamiltoniani e non ne sono possibili altri) i due possibili extent a due campane.

Semplice, chiaro e anche un filino noioso; bene, allora passiamo a quattro campane.

Nella figura vedete il grafo di Cayley per un carillon a quattro campane; come i più anziani di voi dovrebbero sapere (ne abbiamo parlato quando “avevamo solo due cifre”), è un ottaedro troncato (...e un po’ spiccicato) con le diagonali dei quadrati tracciate; in questo caso, sempre per tradizione, di solito si sceglie come round il vertice in alto a sinistra dell’esagono centrale.

Come da definizione, il nostro grafo di Cayley ha, su ogni vertice, tutte le transition (infatti, queste sono quattro e da ogni vertice partono quattro archi, tutti indicati con “colori” diversi); in pratica, questo disegno rappresenta tutto quello che potete fare con quattro campane, il che è decisamente comodo, ma in questo caso, contrariamente al caso a tre campane, non esiste un solo ciclo hamiltoniano (OK, due, ma uno è l’inverso dell’altro); potete fare delle scelte... “Rudy, ma come funziona qui sopra tutto quello che abbiamo visto?” Oh, temevo non me l’avreste mai chiesto. Qui di seguito, trovate (con la stessa notazione della figura qui sopra) alcune vecchie conoscenze:

Sì, sono i principle del Minimus. Come sarebbe a dire, che volete anche i method? Siete incontentabili... Comunque, eccoli:

Le graziose simmetrie e regolarità sono per buona parte indotte dal fatto che siamo partiti dall’ottaedro troncato (con le diagonali dei quadrati); ammetterete però che sono un po’ più facili da memorizzare, rispetto alla sequenza completa di tutto l’extent. Prima che vi venga in mente di raggiungere imperitura fama nel mondo della campanology inventandovi un altro method, sappiate che questi sono tutti e soli i percorsi hamiltoniani che soddisfano le regole che ci eravamo dati (non dimenticatevi la palindromia, che l’abbiamo introdotta in seguito).

“Parrocchia? We have a problem”. Arriva la brutta notizia: se già solo andate nei doubles (cinque campane), i “diagrammi” sono molto insoddisfacenti, almeno secondo noi.

Tanto per cominciare, non si parte dal grafo completo, per disegnare l’extent: infatti la cosa risulta decisamente complicata, visto che sarebbero necessari 120 vertici, da ciascuno dei quali dovrebbero partire 7 archi (esistono sette trasformazioni nel gruppo simmetrico S₅)... insomma, la cosa è piuttosto complicata, soprattutto se richiedete che il disegno presenti una certa “regolarità” (qualunque cosa questo significhi, qui...).

Non solo, ma il fatto che ci siano sette archi ci fa pensare che non sia rappresentabile come figura tridimensionale: lasciamo alle vostre abilità grafico/disegnatorie il verificare se in quattro (o più) si riesca ad ottenere qualcosa di “sensato” (seeh, come no...).

Come sarebbe a dire, “plain”?

Nella figura qui a fianco vedete un sottografo del Plain Bob Doubles, il cui extent è dato dalla transition sequence:

(((AB)⁴AC)³(AB)⁴AD)³

non solo non è completo, ma orientarsi è abbastanza complesso (il punto di partenza è il vertice cerchiato nel decagono al centro della figura).

Qualcuno ha provato a semplificare la cosa, in particolare per il Plain Bob Doubles: se guardate la transition sequence (e la sviluppate), vedete che compaiono solo tre D; questo fatto è già stato utilizzato come aiuto alla visione nel grafo qui a fianco (D sono le tre linee tratteggiate storte), e ci si chiede se non sia possibile qualche ulteriore semplificazione. Sì, almeno per quanto riguarda il Plain Bob Doubles: se lo rappresentiamo come nella prossima figura, forse qualcosa in più si riesce a capire: i numeri uguali, dove sembra che la sequenza cada nel vuoto, vanno “legati assieme”: attenzione che in questi casi, nel disegno, la transition è ripetuta ai due estremi: non dovete suonarla due volte!

Qui, almeno secondo gli esperti, è possibile vederci qualcosa (ignorate i “bastoncini” isolati: i campanologi matematici dicono che servono per “capire il gruppo di simmetria”): partendo sempre dal cerchiato, si gira tutto il decagono e la strada che segue sin quando non si arriva al punto vicino all’inizio, da cui parte una transition di tipo D, e poi avanti così; seguendo il percorso (e ripiegando opportunamente, quando serve, il nostro grafo), ad alto livello si vede che si fanno tre percorsi uguali, intervallati da una D; se, al posto della D, avessimo inserito una C, avremmo subito chiuso il percorso; nel nostro primo giro, qui di fianco, vedete che il vertice vicino alla partenza da cui parte la D potrebbe, con la C, chiudere il ciclo; la nostra D è proprio la call che impedisce la chiusura e permette di andare avanti. Ad un livello più di dettaglio (che forse è il più utile per i campanologi), riaggiustando un pochino il disegno (e togliendo alcune C) si vede che è composto da dodici decagoni connessi tra di loro (appunto dalle C), il che permette di costruire il percorso Hamiltoniano (sì, i conti tornano: 12 decagoni hanno 120 vertici).

Fermate le macchine! Buttate all’aria la prima pagina!

La grande notizia è: token_pattern = re.compile(r'\(([^()]*)\)\^(\d+)')

Ossia, Valter ci ha mandato:

1.     Un python che genera gli MP3 delle scampanate (quella qui sopra è l'istruzione di generazione della sequenza: è per far vedere a Valter che abbiamo letto il programma)

2.     Un MP3 generato dal programma

3.     Gli MP3 di quattro campane (sono usati per generare il file finale)

Adesso ci giochiamo noi, ma se sarete abbastanza supplichevoli potremmo prendere in considerazione l'idea di passarveli. Avendo raggiunto il nostro scopo, la chiudiamo qui...

[1] «Unglücklich das Land, das Helden nötig hat». Bertold Brecht, “Vita di Galileo”, scena 13.

[2] Il termine “Academy” non deve trarre in inganno: si tratta di un comprensorio (peraltro ancora vivo, vegeto e vitale) di scuole secondarie, insomma una sorta di grande aggregato di licei. E non deve trarre in inganno neppure il nome della città: qui si sta ovviamente parlando della Perth scozzese, non di quella australiana.

[3] Che però nel 1803, quando Wallace vi fa il suo ingresso come insegnante, era ancora nella sede originaria di Great Marlow.

[4] Categorie nella quale, come è facile immaginare, ci riconosciamo pienamente. Abbiamo perso parecchio tempo a cercare qualche tipo di relazione tra Robert Simson e William Wallace, a partire da quella più ovvia, ovvero che Wallace potesse essere il nonno materno di Simson. Ma, così come non c’è nessuna traccia della Linea di Simson negli scritti di Simson (mentre invece è chiarissima la sua presenza nelle memorie di Wallace), non c’è nessuna traccia di parentela tra i due matematici. Abbiamo smesso di cercare quando abbiamo scoperto che Robert Simson non si è mai sposato: non che sia una prova assoluta dal punto di vista biologico, ma ne avevamo abbastanza di vagolare in Rete alla ricerca di informazioni. Vi consigliamo di fare lo stesso.

[5] Vi ricordiamo che, come dice un vecchio adagio, il raffreddore è quella malattia che se non lo curi te lo porti dietro per una settimana, se invece lo curi te la cavi con sette giorni: non state quindi a pensare a catastrofi planetarie, quando vi passa siete freschi come prima.

[6] Mentre stiamo chiudendo queste note, Trump e Putin si stanno incontrando in Alaska. Un giornalista di Fox News ha chiesto a Garry Kasparov: “Secondo lei, come finirà questa partita a scacchi tra Trump e Putin?” Risposta di Kasparov: “In una partita a scacchi, i giocatori sono sui lati opposti della scacchiera; qui, sono tutti e due dalla stessa parte”.