Rudi Mathematici

Rivista fondata nell’altro millennio

Numero 277 – Febbraio 2022 – Anno Ventiquattresimo

“...Rudy, ma non li hai già messi qui?”, Sì, ma questo è un altro punto di vista.

1.    Prima Repubblica

“Nel bel soggiorno delle antiche genti

D’ogni Virtude i primi padri adorni

In seno del piacer traean contenti

Dell’aurea etade i fortunati giorni.

Ma poiché il furto del Celeste Fuoco

L’infame Vaso di Pandora aprìo

E Giove sparse irato in ogni loco

La Famiglia dei Mal, che quindi uscìo;

L’ardente Febbre, e l’Etico pallore,

La rea Discordia, e il Tradimento vile,

La turpe povertate, e il vano onore,

E il pigro gelo dell’età senile,

Il geloso furor de’ ciechi amanti,

La nera infedeltà, gli atri sospetti,

E quel morbo crudel, che volge in pianti

Dell’amoroso gioco i bei diletti

Piovver confusi ad inondare il mondo

Per far vendetta contro i rei mortali;

E il viver c’era pria tutto giocondo

Divenne un ondeggiar fra beni, e mali.

Ma benché cinto da crudele assedio

D’atroci pene, deplorabili tanto

L’Uomo non sarebbe, se funesto TEDIO

Non gli crescesse il doloroso pianto:

Tu Figlio del piacer, come del duolo

Con lento morso ci trafiggi il cuore;

Per te sen fugge ogni diletto a volo,

Per te sempre ogni mal fassi maggiore.”

(…)

Imbecille Ragion! Stolta Sofia!

Inutili a fugar dall’Alma il Tedio;

Ceder conviene a una gentile Follia,

Che sola a tanto mal porge il rimedio.

(“Ode alla Noia”)

Chi è stato il primo presidente della Repubblica Italiana?

È una domanda stranamente ambivalente: una buona parte degli interrogati la trova banale, ovvia, insomma della stessa categoria dell’interrogativo “qual è la capitale della Francia?”; un’altra fetta della popolazione, per contro, la trova invece abbastanza imbarazzante, difficile, insomma una vera e propria domanda di storia alla quale si riesce a rispondere solo si è specialisti o quasi. Del resto, la recente conferma al Quirinale di Sergio Mattarella ha funzionato un po’ da cartina al tornasole per un bel numero di sotterranei interrogativi e per qualche deciso abbaglio anche da parte di giornali e media specializzati nell’informazione politica: era tanta l’attesa di conoscere il “tredicesimo presidente” della Repubblica Italiana che alla fine qualche testata si è lasciata scappare il titolo “È Mattarella il tredicesimo presidente”, frase che è ineluttabilmente sbagliata. O forse non proprio ineluttabilmente… ma per farla assurgere a una parvenza di correttezza bisogna fare tanti di quei salti mortali che non passerebbero l’esame di validità neppure di fronte a una giuria composta da bambini dell’asilo.

Analizziamo i fatti: quella che si è tenuta il 29 Gennaio 2022 e che ha confermato al Quirinale Sergio Mattarella è stata la quattordicesima elezione del presidente della repubblica. Due delle quattrodici elezioni, però, hanno portato al Quirinale dei presidenti già eletti precedentemente: il 20 Aprile 2013 fu confermato nella carica presidenziale Giorgio Napolitano, già eletto sette anni prima, il 10 Maggio 2006; e anche la più recente tra le votazioni ha confermato per un secondo mandato il presidente che era ancora in carica, essendo stato Mattarella già eletto il 31 Gennaio 2015. In buona sostanza: quattordici mandati presidenziali, due dei quali di conferma; totale, dodici presidenti. Non si vede proprio come si possa attribuire l’aggettivo “tredicesimo” a Sergio Mattarella.

Enrico De Nicola, primo presidente della Repubblica Italiana.

La domanda iniziale resta comunque ancora valida, anche perché né l’aspetto né il nome e cognome del primo presidente italiano sono particolarmente conosciuti. Gli americani hanno un culto quasi religioso nei confronti del loro primo presidente: i bimbetti delle elementari sentono raccontare aneddoti che riguardano George Washington prima ancora di imparare a leggere, per non parlare del fatto che il suo nome è perpetuato in quello della città capitale federale e in quello di uno dei 50 stati, mentre le sue sembianze sono ripetute all’infinito nelle banconote da un dollaro. In Italia le cose stanno in maniera assai diversa; e anche se non saranno pochi coloro che ricordano il nome “Enrico De Nicola”, siamo pronti a scommettere che non sarebbero tanti quelli in grado di riconoscerlo guardando solo la sua fotografia[1].

Le ragioni di una così ampia differenza nella memoria dei due “primi presidenti” sono molte e tutte facilmente comprensibili: per gli Stati Uniti d’America, George Washington è stato soprattutto l’eroe della guerra rivoluzionaria che ha portato all’indipendenza; ha avuto un ruolo essenziale nel processo di nascita della nuova (e virtualmente prima nel suo genere) repubblica federale; senza contare che, fin dal 1776, i presidenti americani hanno nelle loro mani anche il potere esecutivo, e non solo quello di rappresentanza dell’unità nazionale; tutte cose assenti nella figura del primo presidente della Repubblica Italiana. Nel caso specifico di De Nicola, poi, probabilmente gioca contro anche il fatto che viene spesso ricordato solo come “capo provvisorio” dello stato italiano appena uscito dalla Seconda Guerra Mondiale, al punto che qualcuno tende a non inserirlo nel novero dei “veri presidenti della Repubblica Italiana”: ma questo è errato, perché – pur se è vero che fu eletto dall’Assemblea Costituente il 28 Giugno del 1946 proprio come “capo provvisorio dello Stato”, in attesa che la nuova Italia si desse una Costituzione – è proprio ai sensi di quest’ultima che fu confermato a tutti gli effetti come presidente effettivo il 1° Gennaio del 1948, e mantenne la carica fino al 12 maggio dello stesso anno.

Così, è indubitabile che la Repubblica Italiana formalizzata nella Carta Costituzionale del 1948 abbia avuto finora solo dodici presidenti[2], e l’unica maniera per giustificare l’appellativo di “tredicesimo presidente” a Sergio Mattarella è quella di barare spudoratamente richiamandosi ad una piccola coincidenza (peraltro giustificabile solo giocando sulle denominazioni, e non sulla natura politica) nascosta in una piegolina della storia: ovvero, appellandosi al fatto che la “Repubblica Italiana” esisteva già un secolo e mezzo prima del fatidico 1948.

La Repubblica Italiana del 1802.

La duplice tempesta della Rivoluzione Francese e dei successivi trionfi napoleonici sconvolge l’Europa tra il XVIII e il XIX secolo, e il territorio italiano è uno dei più stravolti, dal punto di vista geopolitico[3]. Già dal 1797 la temperie rivoluzionaria transalpina aveva generato nella penisola una serie di “repubbliche sorelle” di quella nata sulle ceneri della Bastiglia: dopo la Seconda Campagna d’Italia (quella di Marengo) e la successiva Pace di Amiens, la cartina dell’Italia diventa ancora più esplicitamente una sorta di protettorato francese: tutto il Piemonte (che pure, da lì a qualche decennio, sarà il motore dell’anelata unità nazionale italiana) diventa in tutto e per tutto territorio francese[4], con le Alpi Occidentali che non demarcano più frontiere nazionali; mentre virtualmente tutta la Lombardia e buona parte dell’Emilia, insomma quelle terre che fino a poco prima costituivano la “sorella” Repubblica Cisalpina, assumono il nome formale di “Repubblica Italiana”. Come primo – e unico, vista la breve durata che la Storia riserverà alla repubblica – presidente di questa Repubblica Italiana viene acclamato lo stesso Napoleone Bonaparte. Così il cerchio si chiude: accettando una sorta di ideale, seppur totalmente inesistente[5], continuità tra la Repubblica Italiana del 1802 e la Repubblica Italiana costituitasi nel 1948, il numero dei presidenti si incrementa di una unità, e di conseguenza si può legittimamente definire Sergio Mattarella come “tredicesimo presidente”. Anche in questo caso, però, sarebbe opportuno ricordare che era “tredicesimo” fin dal suo primo mandato, quello iniziato nel 2015.

La Repubblica Italiana del 1802 ha un destino abbastanza diverso dalla Repubblica Italiana in cui viviamo: quest’ultima nasce dalle ceneri del precedente Regno d’Italia, mentre per contrappasso la sua sorellina più vecchia terminò la sua breve esistenza proprio trasformandosi in un “Regno d’Italia” nel 1805. Anche questo regno italico non durò molto di più della repubblica originaria, e – inutile a dirsi – ebbe di fatto come unico monarca effettivo sempre il solito Napoleone.

Quel che è curioso, nel seguire le rapidissime evoluzioni geopolitiche italiane (ma anche europee) di quei tempi assai movimentati è notare come nei nomi si cerchi di perseguire a un tempo la proclamazione della novità rispetto al passato, senza però voler perdere il tesoro della continuità nella tradizione: cambiare denominazione tra Regno e Repubblica è naturalmente solo l’indice di uno stravolgimento in senso istituzionale, ma il nome “Italia” è religiosamente conservato, anche se è palesemente riservato ad una frazione neppure troppo vasta della penisola che avrebbe il diritto di rivendicarlo per intero; ma ancora più buffa, a ben vedere, è la denominazione riservata alla regione di Firenze: per tre secoli denominata “Granducato di Toscana”, assume nel breve periodo napoleonico il nome di “Regno d’Etruria”. In questo caso si trattò di un vero e proprio scambio territoriale: sul trono del neonato regno toscano vengono posti i Borbone-Parma, ai quali Napoleone toglie l’originale Ducato di Parma e Piacenza; quest’ultimo, al pari del Piemonte con il quale confina, diventa territorio dell’Impero francese. Da geometra militare qual era, probabilmente Napoleone teneva molto alla continuità territoriale dei suoi possedimenti[6], conoscendo il valore strategico delle aree semplicemente connesse.

Il Regno di Etruria ebbe vita breve, come tutti gli stati italiani ed europei comparsi sulla scena per mano napoleonica: appena un settennato – dal 1801 al 1807 – come la durata di un singolo mandato presidenziale della nostra repubblica. Il suo primo re, Ludovico I di Borbone, non fece in tempo neppure a sopravvivere al suo giovanissimo regno, morendo nel 1803; formalmente gli successe il quattrenne figlio Ludovico II, ma ovviamente il governo toccò alla coniuge reggente, Maria Luisa di Borbone-Spagna. Ad aiutare questi piccoli sovrani nel governo di un così volatile regno si ritrovò un personaggio abbastanza insolito: un politico nobile e benestante, certo ben istruito e con velleità poetiche e artistiche, e che – in maniera inaspettata forse anche per lui medesimo – è riuscito, tra una quartina e una missiva diplomatica, a trovare un posticino nella storia della matematica.

L’unica immagine di Giulio Giuseppe Mozzi dei Garbo che siamo riusciti a trovare è questa foto sgranata di un busto marmoreo.

Giulio Giuseppe Mozzi dei Garbo nasce a Firenze il 23 Febbraio 1730 in una famiglia di antica nobiltà toscana, al punto che lo stesso Giulio, sulla copertina delle sue opere, accompagnava il suo nome e cognome con la dicitura “patrizio fiorentino”.

È in tutta evidenza un fortunato membro dell’aristocrazia toscana, di quelli interessati allo sviluppo delle attività culturali più che alle azioni militari: prima che gli sconvolgimenti francesi rovesciassero gli equilibri d’Europa era già Presidente dell’Accademia Fiorentina. Da aristocratico, non era comprensibilmente un fanatico estimatore del Bonaparte, ma l’arrivo del Borbone-Parma sul trono di Firenze gioca verosimilmente a suo favore: il nuovo sovrano lo chiama a corte e gli conferisce l’incarico di Ministro degli Esteri[7] del piccolo e neonato Regno d’Etruria.

Sembra che le sue doti da diplomatico non fossero poi eccelse; ma c’è anche da chiedersi – pur senza volerlo giustificare sulla fiducia – che anche lo stesso conterraneo Machiavelli avrebbe probabilmente avuto delle difficoltà a brillare in quella posizione in quel periodo storico. Riuscì comunque a restare personaggio significativo della cultura toscana: caduto il Regno d’Etruria, assume di nuovo – e con maggiore autorità – il ruolo di presidente generale dell’Accademia Fiorentina[8]. Passa insomma una vecchiaia densa di onori e gratificazioni, e possiamo immaginare che lasci questa valle di lacrime in modo sereno, nel 1813, ormai più che ottantenne: la sua città natale, tra l’altro, gli riserva uno dei massimi onori fiorentini, la sepoltura in Santa Croce, dove riposano i grandi della città.

Il “Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi”, del 1763.

Se ancora oggi viene ricordato, però, non è per le sue origini nobiliari o per la sua carriera diplomatica e politica. Con sua probabile disperazione, non è granché ricordato neppure le sue opere poetiche: sono arrivate fino a noi il suo “Inno al Sole” e la sua “Ode alla Noia”[9], e su entrambe le composizioni i critici sono concordi nel giudicarle non più che mediocri. Si tratta di poesie scritte in gioventù, visto che vengono pubblicate quando Mozzi ha solo ventisei anni, ma la giovane età non è da prendere come attenuante, visto che anche l’opera per cui oggi lo ricordiamo è di pochi anni successiva, del 1763.

Le sue ambizioni giovanili erano certo orientate, come si è visto, verso la letteratura: subiva comunque anche il fascino della matematica, al punto che cominciò a frequentare e stabilire corrispondenza con Paolo Frisi, docente di Meccanica negli atenei di Pisa e Milano. La leggenda vuole che fu a causa di una breve malattia che lo costrinse per qualche giorno a letto che Giulio Mozzi cominciasse a scrivere una breve memoria di natura matematica, quel “Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi” che poi fece pubblicare in una stamperia di Napoli. La memoria passò quasi del tutto inosservata, innanzitutto perché l’autore non era accademico né tantomeno un matematico professionista: ma soprattutto perché a considerarla poco degna di attenzione era, prima di chiunque, lo stesso autore. La teneva in conto proprio come una “operetta” di poco conto, composta per passare il tempo, un po’ come fanno oggi i malati annoiati che affrontano un cruciverba.

La memoria, però, è degna di nota, eccome: contiene la prima dimostrazione che il moto istantaneo di un sistema rigido avviene per traslazione e rotazione attorno a un medesimo asse (quello che Mozzi chiama “asse spontaneo di rotazione”), e quindi è necessariamente di tipo elicoidale. Oltre al “Teorema di Mozzi”, come viene oggi chiamato[10], nella memoria si introduce per la prima volta il concetto meccanico di “coppia”, eleganti artifici per ridurre un sistema di forze a solo due forze ortogonali, e anche perché anticipa di due anni un buon numero di risultati pubblicati da Eulero nel suo “Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum” del 1765.

Battere sul tempo Leonhard Euler sembra davvero una prestazione niente male, soprattutto se compiuta da qualcuno che nel farlo aveva più o meno lo stesso interesse e dedizione che mettiamo noi quando affrontiamo gli “Incroci Obbligati” della Settimana Enigmistica.

2.    Problemi

2.1    Uest Said Stori (quasi)

...nel senso che ci sarebbe piaciuto mettere in piedi un’ambientazione nello stile di West Side Story o di “The Warriors”, con una serie di gang più o meno giovanili, qualche tocco sentimentale e un’impresa epica tipo l’attraversamento di un megalopoli a caso. Ma ci pare le complicazioni siano già sufficienti nel racconto così come lo abbiamo trovato. Se vi vengono delle idee meno sanguinarie (tipo dei gruppi di matematici in competizione per la Medaglia Fields...), suggerite pure.

Secondo gli storici meno affidabili (quelli affidabili si rifiutano di fare statistiche del genere), nella Chicago degli anni Trenta erano presenti 36 “gang”, alcune delle quali in guerra tra loro; la parte meno nota di questa struttura era il fatto che un singolo gangster poteva appartenere a più gang, purché nessuna delle gang di appartenenza fosse in guerra con un’altra gang di appartenenza; inolte, dati due gangster qualsiasi, si aveva la certezza che non appartenessero allo stesso gruppo di bande. Infine, ogni banda cui un qualche gangster non appartiene è in guerra con qualche banda cui lui appartiene.

Esposte le condizioni, dovreste capire perché ci era venuta l’idea di ambientare il tutto in una facoltà di matematica; ma quello che ci chiediamo noi (e gli storici di cui sopra) è: quanti gangster ci sono, al massimo, a Chicago?

Oh, a noi sembra già abbastanza complicato così, ma se “trentasei” vi sta antipatico, va bene qualsiasi altro numero, eh...

2.2    Forse dovevamo fare prima questo

Nel senso che ci ricorda un problema di tanto tempo fa (no, non vi diciamo quale), ma questo ci pare più semplice; forse, come “hors d’oeuvre” a quell’altro ci sarebbe stato bene. E non vi sareste neanche spaventati troppo di quello vecchio.

Voi e un vostro amico avete deciso di giocare ad un nuovo, emozionante gioco: uno di voi pensa un numero (intero, estremi inclusi) tra 1 e 100 (si veda la solita nota al fondo: ma se è sempre la stessa, cosa stiamo a ripeterla? Comunque, la mettiamo lo stesso), e voi dovete indovinarlo nel minor numero di passaggi possibili, noto che chi ha pensato il numero (che è inguaribilmente onesto) quando voi fate un tentativo, vi dice “più alto” (se il numero che ha pensato è più alto di quello che avete detto) o “più basso” (viceversa, ci pare evidente) sin quando non azzeccate il numero (nel qual caso, il vostro amico sta zitto); perde il primo di voi che dice “ricerca binaria”.

Questo in quanto potete ricevere la segnalazione “più basso” solo una volta: la seconda volta che la ricevete nel round avete automaticamente perso.

Esiste una strategia vincente?

È implicito che per un gioco così insulso vorreste metterci il minor tempo possibile, e vincere alla svelta; quindi, oltre a vincere, vorreste anche dire meno numeri possibili...

E se a voi e al vostro amico stesse antipatico il cento? Questa che avete appena letto era la solita nota al fondo.

3.    Bungee Jumpers

Sia ABC un triangolo, con l’angolo in C pari a 60°. Siano inoltre H li suo ortocentro, G il centroide, N il centro del cerchio dei nove punti1 e O il suo circocentro[11].

Provate che la parabola con vertice in Q e fuoco in G è tangente alle rette passanti per i punti medi di AC e BC e a loro perpendicolari (bisettori perpendicolari dei lati).

La soluzione, a “Pagina 46”

4.   

Soluzioni e Note

Febbraio!

Come promesso festeggiamo con questo numero il ventitreesimo compleanno di RM, uscendo così in ritardo da mancare il mese. Mai successo prima, ma non è detto che non succeda di nuovo.

4.1    [276]

4.1.1    Calcolate l’APE!

Problema geometrico, che è bello, descrizione del Capo, che non sempre aiuta:

Avete un quadrato ABCD, sul lato AB si costruisce il triangolo equilatero ABE interno al triangolo; si tracci la diagonale AC del quadrato che interseca il lato BE in un punto P. Quanto vale l’area di APE in funzione di quella di ABCD?

Primo ad arrivare questa volta è stato il nostro carissimo GaS:

Cominciamo con il disegnino:

Avendo AB=AE=1 possiamo applicare il teorema dei seni per trovare il lato PE:

A questo punto abbiamo 2 lati (AE e PE) e l’angolo compreso (AEP= 60°) e per trovare l’area possiamo usare la formula standard per area dei triangoli:

Potremo prendere subito la calcolatrice ma preferisco, prima, notare che sin(105°) è uguale al cos(15°) e possiamo quindi sostituirlo nella formula:

Potremo prendere adesso la calcolatrice e trovare il risultato ma possiamo divertirci ancora un po’ ricordando le formule trigonometriche di scolastica memoria, ed in particolare la seguente:

che ci permette di ottenere:

Possiamo quindi inserire il valore di tan(15°) nella formula dell’area del triangolo ottenendo:

E quindi l’area del triangolo è l’11,60…% dell’area totale del quadrato, poco più di 1/9.

Incredibile, GaS si è divertito con la trigonometria! Vediamo ora la soluzione di Valter:

Chiamo rispettivamente HE HP le proiezioni di E e P su AB essendo altezze dei triangoli AEB/APB.

Assegnando, senza perdere di generalità, lunghezza unitaria a PHP, ho, come restanti dimensioni (per ottenerle uso le consuete formule relative ai triangoli equilateri e rettangolo/isosceli):

- PHP = 1
- AHP = 1
- HPB = 1/√3
- AB = AHP + HPB = (1 + 1/√3)
- EHE = (√3/2)AB = (√3/2)(1 + 1/√3)
- ◻︎ABCD = AB²
- △AEB = (AB)(EHE)/2
- ◿APHP = (AHP)(PHP)/2
- ◺HPPB = (HPB)(PHP)/2.
- △APE = △AEB – (◿APHP + ◺HPPB).

Indicando con “l” = AB = (1 + 1/√3) il lato del quadrato ABCD e del triangolo isoscele APE, ho:

△APE = △AEB – (◿APHP + ◺HPPB) = ((AB)(EHE)/2) – (((AHP)(PHP)/2) + ((HPB)(PHP)/2)))

che con l dà

((√3/4)l²) – (((l–1)/2) + 1/2) = (√3l² – 2l)/4

e, il rapporto fra ◻︎ABCD/△APE, = 4l²/(√3l² – 2l). Semplificando in 4l/(√3l – 2) e sostituendo ad l il valore (1 + 1/√3) ottengo infine: 4 + 8/√3.

Il nostro Valter è una garanzia, ma questo mese abbiamo anche delle new entry, come Piero, che ci scrive per la prima volta:

Sono matematicamente molto arrugginito, ma spero che almeno la mia soluzione del problema del “Calcolo dell’APE” sia giusta:

Fisso un sistema di riferimento cartesiano in modo che A ≡ (0, 0), B ≡ (1, 0), C ≡ (1, 1), D ≡ (0, 1); il vertice E del triangolo equilatero AEB ha coordinate E ≡ (1/2, √2/2).

Dalle equazioni delle rette passanti per B, E e per A, C

 y = tan(2π/3)(x – 1) = √3 – x√3
 y = x

ottengo le coordinate del punto d’intersezione P ≡ (√3 / (1 + √3), √3 / (1 + √3)).

Calcolo l’area del triangolo APE con la formula di Gauss: Area(APE) = | det(M) | / 2 = (2√3 – 3) / 4 ≈ 0,116

dove M è la matrice quadrata avente righe [xA yA 1], [xP yP 1], [xE yE 1].

S.E.&O. (come scriviamo noi ragionieri).

Siamo curiosi di scoprire quanti conoscono l’abbreviazione, scriveteci, ma non vi fermate qui, che arriva la soluzione di Galluto:

Usando la formula di Erone:

AreaAPE =  dove S è il semiperimetro del triangolo, posso calcolare l’area del nostro triangolo conoscendo la misura dei tre lati.

Poiché il triangolo ABE è equilatero, AE = AB = 1. AP lo ricavo dal triangolo ABP, di cui conosco gli angoli, applicando il teorema del seno:

 = 0,896575

Noti AE e AP, e l’angolo compreso, ricavo EP col teorema del coseno:

 = 0,267949

e quindi:

S = (1 + 0,896575 + 0,267949)/2 = 1,0822623

AreaAPE = 0,116025 o, se volete, l’ 11,6025% dell’area dell’intero quadrato.

Ci piace considerare i paralleli tra le diverse soluzioni, questa di Galluto ricorda l’approccio di GaS ma con meno formule trigonometriche, per la gioia del Capo che le sta ancora scoprendo. Ma non ci fermiamo troppo a lungo, la prossima soluzione è di A.B., che avevamo incontrato già il mese scorso, e che hanno apprezzato i vari suggerimenti per un nome:

Nel numero scorso avete suggerito le ottime firme (A.B.)² e A.²B.². Naturalmente nel caso in cui A e B non commutino tra loro allora (A.B.)² e A.²B.² sarebbero due persone diverse, ma dal momento che in ogni caso ci sono le iniziali giuste siete liberi di indicarci come volete!

Anche se ci siamo divertiti a proporre le varie soluzioni, restiamo con l’originale e ci auguriamo che i nostri A.B. continuino a commutare e a mandare soluzioni:

La figura in questione è la seguente

Il segmento AQ è un’altezza del triangolo APE. Dal momento che alla fine del problema dovremo dividere l’area di APE per l’area del quadrato, possiamo senza perdita di generalità considerare il quadrato come avente lato unitario.

Com’è consueto fare, chiamiamo (la lunghezza di) ogni lato opposto a un vertice con la stessa lettera del vertice in minuscolo, e quindi chiamiamo (come indicato in figura sopra)

AE = p, EP = a, PA = e, EC = b.

Calcoliamo ora quanto vale a usando i triangoli EBC e PCE. Conteggiando gli angoli, si può far vedere che questi due triangoli sono simili. Infatti

e dal momento che per definizione EB=BC, abbiamo anche

Quindi arriviamo subito alla conclusione che

1 : b = b : a ⟹ a = b²

Rimane solo da calcolare quanto vale b², e lo facciamo con il teorema dei coseni applicato al triangolo EBC che ci dice che

A questo punto, visto che il triangolo equilatero ha lato 1 e quindi la sua altezza è √3/2, l’area del triangolo APE sarà

Bene, ora passiamo a Makaronik, che ha ancora un altro approccio:

Consideriamo la figura

Si tratta di calcolare l’area dell’APE, vale a dire

A = ½ AH ∙ HE

Sia l la lunghezza del lato del quadrato: allora si ha

·         AE = l

·         EAH = EAB – PAB = π/3 – π/4 = π/12 dal momento che AEB è equilatero e AC è la diagonale del quadrato

·         EH = AE sin(EAP)

·         BOP è un triangolo rettangolo, in particolare

o    PBO = EAP = π/12

o    OP = BO tan PBO

·         AH = AO + OP con AO la metà della diagonale del quadrato

mettendo tutto assieme:

Che può sembrare un risultato diverso dagli altri ma non lo è. Adesso concludiamo in bellezza con la soluzione di Br1:

Beh, la figura che illustra la faccenda APE dovrebbe essere questa:

Qui la faccenda divertente è stata la ricerca Google dei due colori trendy; ne è venuto fuori:

e la figura in alto ne rispetta le connotazioni[12].

Divagando, si è anche trovato che:

Il colore che la farà da padrone, dunque, è stato battezzato come Pantone 17-3938 Very Peri, che mira a “dare nuovo vigore a un mondo che cerca stabilità, resilienza e speranza”, come sostiene il Pantone Color Istituto.

Tralasciando la personale ostilità verso il termine resilienza, passiamo al quesito; posto L = AB ed immaginando un sistema di riferimento cartesiano con origine in A, e tenendo conto che il triangolo ABE è equilatero, le equazioni delle rette rAC ed rBE che passano per i punti indicati dai pedici si ricavano essere:

Il punto P, come incrocio fra le due rette suddette, risulta essere caratterizzato come segue:

Si ricava poi facilmente:

Ed infine:

I migliori (o più critici) di voi ci daranno un resoconto su quanti modi effettivi di soluzione abbiamo presentato. Franco57 ha pensato che il problema fosse troppo facile e ne ha risolto un altro:

Il calcolo dell’area dell’APE non è difficile.

Poniamo AB=1. Chiamo H il piede di P su AB e HB=h/√3.

Allora AB=AH+HB diventa 1 = h + h/√3 da cui

.

Indicando l’area di un poligono con le parentesi abbiamo dunque:

(ABP) = ½ AB ∙ PH = (3 – √3)/4 e (ABE) = √3/4 e quindi

(APE) = (ABE) – (ABP) = √3/4 – (3 – √3)/4 = √3/2 – 3/4

Il risultato non è particolarmente simpatico, come invece l’equivalenza di alcuni poligoni che si vengono a formare, quelli colorati di giallo o di verde qui sotto nelle due figure rispettivamente:

Infatti per prima figura:

e per la seconda:

Non so se è un caso, dopotutto si gioca sempre su polinomi di primo grado sulla radice di 3 con semplici frazioni come coefficienti, oppure se c’è sotto qualche proprietà più profonda.

Basta adesso, continuiamo con il secondo problema.

4.1.2    Gli Impredicibili

In questa sezione si incontrano sequenze di soli e lune, che generalmente sono romantiche, ma se proposte da Rudy fanno pensare a calcoli semi-probabilistici:

Definiamo una sequenza di m Lune e n Soli (con m>n) come non predicibile se c’è un qualche punto nella sequenza dove il numero dei Soli sia maggiore o uguale al numero delle Lune.

Se m=7 e n=2, quante sono le sequenze non predicibili che iniziano per L?

Se n=2, per qualsiasi valore di m maggiore di 2, sono più le sequenze non predicibili che iniziano per L o quelle che iniziano per S?

Quante sono le sequenze non predicibili con m=10 e n=3?

Per primo ci ha scritto Alberto R.:

Le possibili sequenze di m Lune ed n Soli sono K=(m+n)!/m!·n! come ci insegna il calcolo combinatorio.

Tra di esse, se m>n, il numero di quelle non predicibili [perché questo strano nome?] dovrebbe essere K·2n/(m+n).

Che questa formula sia corretta è molto probabile visto che funziona, almeno con m ed n ragionevolmente piccoli. Ma non è certo perché l’ho ottenuta non per deduzione matematica ma (bestemmia!) per induzione sperimentale.

Visto che Alberto non si butta in dimostrazioni, vediamo la versione di Valter, che ci ha inviato numerose revisioni:

Il numero complessivo di sequenze possibili è m+n su m oppure, indifferentemente, n binomiale. Per convincersene basta associare alle Lune gli interi da 1 a m e ai Soli quelli da m+1 a m+n. Tutte le possibili combinazioni di m di m+n interi ammonta, come è noto, a m+n su m binomiale.

Associando ad ognuna le posizioni da sinistra delle m Lune e degli n Soli, le considero tutte. Conteggio i non predicibili, per tentare di individuare un algoritmo di calcolo riproducibile. Analizzo le sequenze che hanno una Luna in più dei Soli; per le mie possibilità è più che mai. Lascio a solutori più preparati di me altre casistiche e considerazioni proposteci dai Nostri.

Abbrevio sequenze predicibili e non predicibili, con P e NP; … mi ricordano un altro problema.

Con 4 Lune e 5 Soli:

-       il numero totale di sequenze, come mostrato più sopra, vale 9 su 4 binomiale, cioè 126

-       tutte quelle che iniziano da sinistra con S, SL, LS o terminano a destra con L, sono P

-       restano, quindi, solo le sequenze LL......S, con 3 Soli e Lune in mezzo, da analizzare

-       sono in tutto 6 su 3 binomiale = 20; per quanto detto so che almeno 126-20=106 sono NP

-       tra le sequenze da analizzare, se iniziano con SS...., o terminano con ....LL, sono NP

-       di entrambe ce ne sono 4 su 1, o stessa cosa 4 su 3, binomiale; in totale quindi 4*2=8

-       sono conteggiate due volte le SS..LL in tutto 2 su 1 binomiale; le NP scendono a 8-2=6

-       sono state analizzate tutte le possibili combinazioni; in totale le NP sono 106+6=112.

Nota: da qui in poi uso, per brevità, la notazione C(n,k), ad indicare n su k binomiale.

Con 5 Lune e 6 Soli; vado veloce in quanto, penso, sia evidente come “gira” l’algoritmo:

-       numero complessivo sequenze C(11,5) = 462

-       le LL........S possono essere P oppure NP

-       le restanti: 462-C(8,4) = 462–70 = 392 NP

-       le LLSS......S e pure LL......LLS sono NP

-       sono 2*C(6,2) = 30, ma.ne conto due volte

-       quella contate due volte sono LLSS....LLS

-       bisogna quindi sottrarre da 30 C(6,2) = 6

-       le LL(LL....LL)S sono P, restano le altre

-       sono: LS....LS/LS....SL/SL....LS/SL....SL

-       sono i 2² =4 casi di LS/SL in testa e coda

-       solo quelli con ..SSLL.. centrale sono NP

-       in tutto le NP sono quindi 392+30–6+4=420.

Ho conteggiato le sequenze partendo da quelle con un solo Sole sino a sette; Soli=totale/NP-P: 1=3/2-1, 2=10/8-2, 3=35/30-5, 4=126/112-14, 5=462/420-42, 6=1716/1584-132, 7=6435/6006-429, ….

Il rapporto fra NP/P aumenta di 2 unità, ad ogni Sole che si aggiunge: 2, 4, 8, 10, 12, 14, …. Motivo la ragione più avanti, permette di calcolare le NP, partendo dal totale delle sequenze. Indicando con S il numero dei Soli si risolvere il sistema di equazioni: C(2S,S)=NP+P, NP/P=2S.

Dato un certo numero di Soli S, NP vale 2S*C(2S+1,S)/(2S+1) e P, ovviamente, C(2S+1,S)/(2S+1).

Se mostro come ottenere C(2S+1,S)/(2S+1) sequenze, ognuna con un P, giustifico la sua formula. La formula, infatti ci dice che sul totale delle sequenze, vi sono proprio un tal numero di P. Lo faccio dimostrando che:

-       preso un P le 2S ottenute spostando, uno alla volta, l’ultimo a destra in testa risultano NP

-       in un gruppo di sequenze ottenuto come prima ma partendo da una a caso è presente un unico P

-       ogni sequenze è presente in un solo gruppo; questa affermazione è ovvia non merita motivarla

-       in un gruppo le sequenze sono tutte diverse; si riesce facilmente derivarla dalle precedenti.

Per esempio con 3 Soli ho (da qui in poi evidenzio, per comodità, in grassetto le sequenze P):

-       LLLLSSS SLLLLSS SSLLLLS SSSLLLL LSSSLLL LLSSSLL LLLSSSL

-       LLLSLSS SLLLSLS SSLLLSL LSSLLLS SLSSLLL LSLSSLL LLSLSSL

-       LLLSSLS SLLLSSL LSLLLSS SLSLLLS SSLSLLL LSSLSLL LLSSLSL

-       LLSLLSS SLLSLLS SSLLSLL LSSLLSL LLSSLLS SLLSSLL LSLLSSL

-       LLSLSLS SLLSLSL LSLLSLS SLSLLSL LSLSLLS SLSLSLL LSLSLSL.

Preso un P le 2S ottenute spostando, uno alla volta, l’ultimo a destra in testa risultano NP:

-       ammettiamo, per assurdo, che vi siano almeno due P, in un gruppo

-       sappiamo, per quanto detto, che iniziano per L e terminano per S

-       chiamo L₁ e S₁ l’inizio e fine della prima e, L₂ S₂, della seconda

-       la sequenza sarà L₁…S₂L₂…S₁; quando L₂ passa in testa, S₂ è in coda

-       uno dei due “…” deve avere, almeno, lo stesso numero di S e di L

-       questo perché l’insieme dei due “…”, ha un solo L in più degli S

-       se è il primo “…”, L₁…S₂ farebbe, della sequenza L₁…S₂L₂…S₁, una NP

-       discorso analogo con il secondo “…”, per la sequenza L₂…S₁L₁…S₂ NP.

In un gruppo di sequenze ottenuto come prima ma partendo da una a caso, è presente un unico P:

-       che non ve siano di più è mostrato sopra; resta che sia presente

-       ammettiamo che non ve ne siano; parto da una NP del gruppo di 2S

-       per spiegarmi, mi servo di un caso concreto; ad esempio: LSSLLSL

-       considero partendo da destra quando a sinistra S e L sono uguali

-       ci deve essere per forza in quanto gli L sono uno in più degli S

-       nel nostro caso è prima dell’ultimo L; per farmi capire LSSLLS|L

-       quella che resta, a destra, è una sequenza P con numero S minore

-       nel nostro caso, essendoci un unico L, il suo numero di S è zero

-       eseguo tanti spostamenti sino a portare, tale sequenza, in testa

-       nel nostro caso ottengo L|LSSLLS; se non è una P, posso ripetere

-       nel nostro caso si deve spostare di nuovo da LLSS|LLS a LLS|LLSS

-       per quanto detto, l’operazione è sempre possibile, in caso di NP

-       ad un certo punto, quindi, non potendolo più, si è arrivati al P

-       non si può, infatti, tornare a quella di partenza, che sarebbe P

-       lo si intuisce facilmente, in quanto “composta” poi da “pezzi” P.

-       lo mostro con altri esempi concreti:
-- SLLSLS|L à LS|LLSLS à LLSLSLS
-- LSLSLS|L à LLSLSLS
-- SLLS|LLS à LLSS|LLS à LLSLLSS
-- LLLSLSS.

Ho scritto un programmino che conta NP e P per vari valori di S/L (lo allego con una tabella di valori ottenuti; …potesse servire):

È facile ricavare le formule per ottenere i valori delle colonne (è sufficiente notare che il rapporto NP/P vale sempre 2S/(L-S)):

-       Totale NP+P=C(S+L,S)

-       P e NP incognite di:

n  NP+P=C(S+L,S)

n  P/NP= (L-S)/2S.

Al solito speriamo di aver scelto la revisione corretta ed il programmino ce lo teniamo noi, mentre passiamo la parola a GaS:

Definiamo:

NP(m;n) il numero di disposizioni Non Predicibile per m Lune ed n Soli

NPS(m;n) il numero di disposizioni Non Predicibili che iniziano per “S”

NPL(m;n) il numero di disposizioni Non Predicibili che iniziano per “L”

Ovviamente si ha: NP(m;n)=NPS(m;n)+NPL(m;n)

[Teorema 1]                  ∀ (m;n) NPS(m;n) = NPL(m;n)

[Dim]

Dimostriamo che le NPL sono pari alle NPS mostrando che esiste una corrispondenza biunivoca che trasforma una sequenza NPS in una sequenza NPL, e viceversa.

Data una generica sequenza NPS l’operazione di “trasformazione” è effettuata prendendo le ultime “x” lettere e portandole in cima alla sequenza; x è il minor numero possibile per il quale le ultime x lettere contengono più L di quante siano le S.

Qualche esempio servirà (spero) a chiarire il concetto:

Nei 3 esempi ho sottolineato in rosso le ultime x lettere da riportare in cima alla sequenza per trasformare una NPS.

Vediamo qualche immediata proprietà di questa trasformazione:

1.     la sequenza in rosso comincia sempre con una L, in caso contrario x non sarebbe il “minor numero possibile”

2.     il numero x di lettere “trasferite” è un numero dispari e la sequenza in rosso contiene sempre esattamente una L in più del numero di S (“1L e 0S”, o “2L e 1S”, o “3L e 2S”, ecc…). Ne segue che, dopo aver posizionato la sequenza in rosso davanti a quella blu, che comincia per S (di partenza abbiamo una NPS), le prima (x+1) lettere della nuova sequenza saranno un numero uguale di L e di S

3.     sequenza NPS diverse sono trasformate in sequenze diverse

4.     la trasformazione è invertibile: partendo dalla sequenza di destra basta selezionare le prime x lettere e spostarle alla fine della sequenza; con il valore di x minore possibile tale che il numero di L sia esattamente uno in più del numero di S e per cui, contemporaneamente, la serie rimanente cominci con una S

Dalle proprietà 1 e 2 segue che la sequenza NPS, dopo la trasformazione, sarà una NPL.

Dalle proprietà 3 e 4 segue che la trasformazione è una corrispondenza biunivoca

Tale trasformazione ci permette di dimostrare che NPS(m;n) = NPL(m;n)

[CVD]

Dimostrato il teorema 1 calcoliamo adesso, per ogni m e per ogni n, quante sono le configurazioni totali possibili, predicibili o meno: avendo da posizionare (m+n) simboli di due classi differenti le sequenze possibili sono un totale di:

Per ogni (m,n) le sequenze che cominciano con una S sono tutte ovviamente NP, ma quante sono? Dovendo posizionare, dopo la prima S, ancora m Lune e (n-1) Soli, in qualsiasi ordine, le sequenze di questo tipo sono:

Applicando il [teorema 1] abbiamo NP(m;n) = NPS(m;n) + NPL(m;n) = 2 NPS(m;n)

da cui:

che è la formula generale per il numero di sequenze Non Predicibili.

Possiamo adesso rispondere alle domande, puntuali, presenti nel problema:

Se m=7 e n=2, quante sono le sequenze non predicibili che iniziano per L?

Se n=2, per qualsiasi valore di m maggiore di 2, sono più le sequenze non predicibili che iniziano per L o quelle che iniziano per S?

Come già visto vale sempre la NPS(m;n) = NPL(m;n)

Quante sono le sequenze non predicibili con m=10 e n=3?

Dalla formula generale possiamo calcolarci i primi valori della matrice (m;n):

è interessante infine calcolare il valore percentuale F(m;n) del numero di sequenze NP rispetto alle sequenze totali:

Il Capo è felicissimo, ovviamente, perché le sue generalizzazioni sono state prese al volo da quasi tutti i solutori, come Galluto:

Generalizzo subito, e poi rispondo ai tre quesiti in base alla generalizzazione.

-       Dati m ed n, il numero di sequenze diverse che posso ottenere è (m+n)! / (m! * n!) e cioè il valore che trovo sulla riga (m+n) del triangolo di Tartaglia, nella posizione n. Nel seguito, uso come esempio il caso m = 12 e n = 5 (e quindi m+n = 17)

-       Poiché m > n, mi basta la parte sinistra del triangolo di Tartaglia e per comodità (di excel 😊) la costruisco così:

-       Dal mio punto di partenza, man mano che formo la sequenza risalgo lungo il triangolo; se uso una Luna e quindi ho ridotto di uno gli m disponibili salgo in verticale, se uso un Sole (e quindi riduco gli n) salgo in diagonale verso sinistra; nell’esempio, delle 6188 sequenze totali 1820 cominciano con una S e 4368 con una L.

-       È chiaro che questo non vale per le righe superiori, perché il valore di una cella va moltiplicato per il numero di percorsi differenti con cui la posso raggiungere, ma questo lo vediamo più avanti; per il momento mi interessa di individuare le caselle in cui le sequenze indicate sono tutte Predicibili (Pre) o tutte non Predicibili (NoPre)

-       Le caselle NoPre sono quella delle sequenze che cominciano con una S (le 1820 dell’esempio) e poi quelle dove il numero di L ed N usate è uguale (1 e 1, 2 e 2, …, 5 e 5) e sono evidenziate in rosso nella tabella più sotto

-       Le caselle Pre sono quelle in cui sono state usate abbastanza L da rendere inutile una sfilza ininterrotta di tutte le S rimanenti e quindi ne sono state usate n+1 L (nell’esempio, 6); sono evidenziate in blu nella tabella

-       A questo punto mi devo creare “l’albero dei moltiplicatori” per tenere conto, come detto prima, dei differenti percorsi per arrivare alla stessa casella; il numero di percorsi differenti, e quindi il valore da inserire in una casella è pari alla somma dei due valori che stanno nelle 2 caselle sotto (in verticale e a destra), ma non contando quelli corrispondenti ad una casella rossa o blu.

-       Incidentalmente, l’albero, dato n, è sempre lo stesso; solo, trasla più in alto o più in basso in base ad m

-       Adesso moltiplico, casella per casella, i valori della prima tabella per quelli della seconda e ottengo:

-       Sommando le celle rosse e blu ho il totale delle sequenze NoPre (3640) e di quelle Pre (2548); la singola casella mi dice quante sono quelle con determinate caratteristiche; ad esempio, ci sono 756 sequenze che hanno 6 L e due S nelle prime 8 posizioni (ma non una S nella prima o nella seconda, o 2 S nelle prime quattro!), …

E veniamo ai tre quesiti specifici:

1.     Per m=7 e n=2, quante sono le sequenze non predicibili che iniziano per L?

sono 8: 7 che cominciano con LS (e poi la seconda S sta nelle sette posizioni restanti) e una che comincia con LLSS (e poi ci sono le altre 5 L)

2.     Con n=2, per qualsiasi valore di m maggiore di 2, sono più le sequenze non predicibili che iniziano per L o quelle che iniziano per S?

Sono sempre in numero uguale, qualunque sia m. Basta guardare lo schema del quesito precedente: il moltiplicatore è sempre 1 e ce ne sono m + 1 che cominciano con S, contro m che cominciano con LS e 1 che comincia con LLSS

3.     Quante sono le sequenze non predicibili con m=10 e n=3?

Sommando le celle rosse… 132

Aggiungo io un quesito: come varia il rapporto tra Pre e NoPre al variare del rapporto tra m ed n? (risposta: cresce linearmente da 0 (per m=n) a 1 (per m=3n), a 2 (per m=5n), ecc., indipendentemente da n)

Anche un quesito in più! Dobbiamo trovare un modo di ancorare il Capo al pavimento o vola via. Ecco la soluzione di trentatre:

Le sequenze sono permutazioni e il problema è di tipo combinatorio, ma preferisco impostarlo in forma geometrica, esteso ad ogni valore di m e n.

Nell’esempio di fig. 1 un rettangolo di base e altezza  diviso in quadrati unitari; indico con

- x, y : coordinate di centro A

 - P : percorso di lunghezza minima da A al vertice opposto B, composto da  tratti unitari orientati nel verso delle coordinate x e y crescenti; associando ai tratti orizzontali una L e a quelli verticali una S, ogni P corrisponde a una permutazione e viceversa

- Pn : i P non predicibili; ogni Pn deve passare per uno dei punti rossi sulla diagonale per A, dove le somme di L e S sono uguali; gli altri percorsi (predicibili) restano all’interno dell’area grigia - p.es. il percorso a destra è Pn perché nel punto tocca la diagonale.

Fissati m e n, il numero totale di P nel rettangolo è

[1]

- il numero totale di Pn, per , è

[2]  

- ci sono tanti Pn che iniziano con L quanti quelli che iniziano per S; il loro numero Nq è pertanto la metà di [2]

[3] .

Per i tre problemi si ha

1° - , da [3]

2° - , da [3] , uguale nei due casi.

3° - , da [2] .

dimostrazioni

La[1] è la nota formula per permutazioni di oggetti di due tipi diversi.

Sia in fig. 2 il caso con e m indeterminato (in figura limitato a 6 ma che si intende esteso a m)

- ogni Pn da A a B deve passare per uno dei punti rossi

- in (a), (b), (c) sono separati i Pn che incontrano per primo il punto 1,2,3

- i tratti rossi sono percorsi obbligati, che obbligano il passaggio al punto scelto - nei rettangoli grigi i valor Np parziali si calcolano con la formula [1]

- i contributi al valore Np totale sono

 (a) punto 1 :

 (b) punto 2 :

 (c) punto 3 :

- applicando [1] il totale è

- la cui somma è

- ripetendo il calcolo con altri valori di n vale sempre cioè la [2].

Se i Pn iniziano con S dallo schema (d) si ha  cioè la metà di [2] e quindi vale la [3].

Beh, potete cominciare a decidere se le formule sono tutte diverse o tutte equivalenti fino a qui, ma suggeriamo di continuare a leggere fino alla fine, il problema è stato affrontato dai nostri più affilati risolutori, come avete visto. Il prossimo è il Panurgo:

È interessante notare, nella formulazione del problema, il passaggio immediato alla rappresentazione: le sequenze di m Lune e n Soli diventano le sequenze LLSSLLL e SLLLSL.

Più formalmente, mettiamo in relazione biunivoca, per una sequenza, ogni statuetta della Luna con un esemplare della lettera L e ogni statuetta del Sole con un esemplare della lettera S e otteniamo una relazione biunivoca tra la sequenza e una parola ottenuta dall’alfabeto di due lettere {L,S}.

Da queste parole è necessario, per non banalizzare il problema, escludere la parola vuota ε (che ha ): ogni parola può essere pensata come preceduta dalla parola vuota quindi avremmo  parole non predicibili,  che cominciano con L e  che cominciano con S.

Dalle parole ai... grafi: se mettiamo in relazione, per le nostre parole, ogni lettera L con un passo  e ogni lettera S con un passo  otteniamo una relazione biunivoca tra le parole stesse e i cammini sul reticolo degli interi: nella figura sono segnati, in verde, un cammino corrispondente ad una parola predicibile e, in rosso, un cammino corrispondente ad una parola non predicibile. Una parola contenente i esemplari di L e j esemplari di S corrisponde ad un cammino che termina nel punto : la retta orizzontale è l’asse orizzontale (corrispondente ai punti per cui ).

Ogni parola non predicibile che comincia con L deve tornare almeno una volta sull’asse. Prendiamo per esempio la parola LSSLLLSLLLSL (il cammino rosso in figura): se cominciamo da destra, le parole per cui  sono LS, LSS e LSSL. La seconda di esse comincia con la prima, la terza con la prima e la seconda: poniamo quindi la seguente

Definizione. Parola non predicibile primitiva: una parola non predicibile che non comincia con una parola non predicibile più corta.

Tutte le parole che cominciano con S (vedi figura) sono evidentemente non predicibili perché, per S, ; S non comincia con una parola più corta per cui è una parola non predicibile primitiva.

Le parole predicibili che cominciano con S sono presto contate: i cammini su un reticolo  sono .

A parte S, tutte le parole non predicibili primitive contengono un ugual numero di esemplari di L e di S: infatti, se iniziamo con L e aggiungiamo via via le lettere, per poter avere  deve prima essere  ovvero il cammino, prima di poter passare sotto l’asse, deve raggiungerlo e la parola successiva comincia con una parola non predicibile più corta.

I cammini che terminano sulla linea di partenza senza scendere sotto di essa sono i cammini di Dyck e sono contati dai numeri di Catalan, : le parole non predicibili primitive di lunghezza 2k tornano sull’asse solo all’ultimo passo e il loro numero corrisponde a quello dei cammini di Dyck di lunghezza , .

Per contare le parole non predicibili che cominciano per L consideriamo (vedi figura seguente) tutte quelle che cominciano con LS, poi quelle che cominciano con LLSS, poi con LLLSSS e LLSLSS e così via fino alle parole non predicibili formate da n esemplari di L e S: avremo dunque

Non ci resta ora che contare le parole predicibili, quelle che, dopo la prima L, non tornano mai sull’asse.

Invece di contare loro contiamo quelle (non predicibili) che, dopo la prima L, tornano sull’asse almeno una volta. E stavolta le contiamo con il metodo della riflessione: mirabilia, il loro numero è uguale a quello delle parole non predicibili che cominciano con S.

Sottraiamo  dal numero totale di parole che cominciano per L e avremo trovato il numero delle parole predicibili

oltre a questa rimarchevole identità

ovvero .

Le risposte alle domande specifiche sono: 8; né le une né le altre; 66.

Come sta andando la lista delle risposte? Tutte uguali? La versione di Makaronik è la prossima, comincia con un disclaimer “non penso che il calcolo combinatorio sia il mio forte... ”, decidete un po’ voi:

Per prima cosa si può sostituire L ed S con +1 e –1 e definire tutte le possibili

sequenze

E consideriamo il sottoinsieme non predicibile

Per prima si può limitare la lunghezza massima di una sottosequenza per stabilire

se sia o meno un elemento di Πm,n.

Se  ∈ Πm,n allora j nella definizione è minore di 2n.

Nel seguito  sarà la cardinalità di un insieme A.

Tutte le sequenze composte da n+1 e n–1 nelle prime 2n posizioni e seguite da m–n+1 sono chiaramente non predicibili: infatti sia  una di tale sequenze, allora . Dal momento che queste sono un sottoinsieme delle sequenze non predicibili, dal calcolo combinatorio si ha

Per cercare di capire quale possa essere la cardinalità di Πm,n, a testa bassa, si potrebbe provare a iniziare ad enumerare le sequenze…

n = 2: In questo caso abbiamo 3 casi:

(a)   Le sequenze che partono per –1, tutte non predicibile: (–1; *)

(b)   Le sequenze che partono con 2 +1, o meglio l’unica sequenza che parte con due +1: infatti affinché sia non predicibile devono seguire prima i 2 –1 e poi m–2. (1, 1, –1, –1, 1, …, 1)

(c)    Le sequenze che partono con (1; –1): anche queste sono tutte non predicibile

Non rimane che contarle: le sequenze in (a) sono tutte le sequenze di m+n–1 = m+1 simboli con un solo –1 e tutti gli altri +1, vale a dire. Le sequenze in (b) sono tutte le sequenze di m+n–2 = m simboli con un solo –1 e tutti gli altri +1, vale a dire . Per cui, mettendo tutto assieme si trova

In particolare le sequenze non predicibili che iniziano con +1 sono in numero eguale a quelle che iniziano con –1. A questo punto si può provare a generalizzare come delle marmotte a Candelora: dato che tutte le sequenze possibili sono si può trovare per quale valore di m le sequenze non predicibili sono in numero maggiore di quelle predicibili: si deve risolvere per quale m vale la relazione:

mettendo le formule ottenute

n = 3:[13] in questo caso abbiamo 5 casi e come prima possiamo usare il calcolo combinatorio per contarle:

(i) Le sequenze che partono per ‘–1’, tutte non predicibili: (–1; *)

(ii) Le sequenze che partono con 3 ‘+1’, o meglio l’unica sequenza che parte con 3 +1: infatti affinché sia non predicibile devono seguire prima i 3 ‘–1’ e poi m + 3 – 3 ‘+1’. (1, 1, 1, –1, –1, –1, 1, …, 1)

(iii) Le sequenze che partono con (1; –1): anche queste sono tutte non predicibili

(iv) Le sequenze (1, 1, –1, –1, *): anche queste sono tutte non predicibili

(v) La sequenza (1, 1, –1, 1, –1, –1, –1, 1, …, 1)

In particolare le sequenze non predicibili che iniziano con +1 sono in numero eguale a quelle che iniziano con –1. Anche in questo caso si può trovare per quale valore di m le sequenze non predicibili sono in numero maggiore di quelle predicibili: si deve risolvere per quale m vale la relazione:

Il che porta ad avere m ≤ 9.

Per il caso n ≥ 4: sia Am,n,k l’insieme delle sequenze di lunghezza m+n con k ‘+1’ e altrettanti ‘–1’ nelle prime 2k posizioni. Per prima cosa si deve calcolare il numero di sequenze comuni per A e il suo successivo, vale a dire:

così che si possano sommare le cardinalità dei vari insiemi e sottrarre le sequenze parti comuni ...Hanc marginis exiguitas non caperet...

… che ci sembra il modo giusto per concludere questa soluzione piena di citazioni rudi che ci ha stremati per convertirla nel formato di RM, ma speriamo ne sia valsa la pena e di non aver introdotto troppi errori. Ed ora un’altra soluzione del nostro commutante duo A.B.:

Una sequenza è non-predicibile quando il numero di S è maggiore o uguale al numero di L (entrambi contati partendo da sinistra). Quindi qualunque sequenza che cominci con S è non-predicibile. Se la sequenza inizia per L allora, chiamati m ed n il numero di L ed S nella sequenza (con m>n), se nelle prime 2n posizioni sono presenti tutte le S la sequenza è sicuramente non-predicibile. L’implicazione inversa non vale, basti considerare ad esempio la sequenza non-predicibile LSLLL...L SS...S. Andiamo con ordine.

·         Caso m=7, n=2: Avendo due sole S, c’è una sola sequenza non-predicibile del tipo LLSSLLLLL, e tante sequenze del tipo LS... quanti sono i modi di posizionare la S rimanente nei rimanenti 7 posti, cioè in totale ci sono 8 sequenze non-predicibili che cominciano con L;

·         Caso m=?, n=2: A prescindere da m, siccome n=2, allora abbiamo di nuovo una combinazione LLSSL... e tante combinazioni LS... quanti sono i modi di posizionare la seconda S nei rimanenti m posti, quindi ci sono m+1 sequenze non-predicibili che cominciano con la L. Notiamo che la sequenza LSLSL... è inclusa nel secondo tipo di sequenze considerate.

Se la sequenza comincia con S, ci sono tante sequenze non-predicibili quanti sono i modi di posizionare la seconda S nei rimanenti m+1 posti, quindi il numero di sequenze nei due casi è uguale.

Prima di andare al caso generale, è utile riformulare il problema. Un modo per analizzare la situazione è quello di supporre che ogni L corrisponda a muoversi di Lato verso destra di un’unità, mentre S corrisponda a muoversi in Su di un’unità. Chiaramente, nessuna mossa corrisponde al muoversi in basso o a sinistra. Il caso m=7, n=2 corrisponde quindi alla figura seguente

Completare la sequenza vuol dire muoversi dall’angolo in basso a sinistra (vertice A) all’angolo in alto a destra (vertice B), potendosi muovere solo verso l’alto e verso destra. Come convenzione, assegniamo ad A le coordinate (0, 0). Ogni volta che, dopo esserci mossi, ci troviamo in uno dei pallini rossi, la sequenza che descrive i nostri spostamenti è non-predicibile. Il numero di sequenze non predicibili corrisponde quindi al prodotto, per ogni puntino rosso, del numero dei percorsi che partendo da A lo raggiungono, per il numero di percorsi dal punto rosso in questione a B. A questo punto è necessaria una piccola parentesi su come contare il numero di questi percorsi.

Dal momento che un vertice (i, j) può essere raggiunto solo da sotto o da sinistra, il numero di modi in cui lo si può raggiungere è uguale alla somma del numero di modi per raggiungere il vertice (i, j–1) subito sotto e il vertice (i–1, j) subito a sinistra. Se uniamo questo al fatto che c’è un solo modo per partire, otteniamo che il numero di modi per raggiungere uno qualunque dei vertici è sicuramente un numero del triangolo di Tartaglia. Più in generale, dato un rettangolo p×q (con p<q), il numero di percorsi per andare da A a B (definiti come in figura sopra) sarà dato da (daremo la dimostrazione di questo fatto alla fine)

#percorsi =

Per esempio, nel caso di m=7, n=2, il numero di percorsi generici per andare da A a B sarà

#percorsi =

mentre se volessimo calcolare quanti sono i percorsi non-predicibili che cominciano per S, dovremmo contare il numero di percorsi dal punto rosso di coordinate (0, 1) a B, che sono , e infatti ci sono 8 sequenze che cominciano per S.

Possiamo subito ottenere il numero di percorsi non-predicibili che iniziano con S (PNPS). Questi saranno infatti semplicemente il numero di percorsi per andare da (0, 1) a (m, n) in un rettangolo n×m (con n<m). Quindi

#PNPS =

Possiamo ora ottenere il numero di percorsi non-predicibili che cominciano per L. Il ragionamento è lunghetto ma non troppo complicato. Affinché una sequenza cominci con L e sia non predicibile, dobbiamo a un certo punto incontrare un vertice “della diagonale”, cioè un vertice con coordinate (k, k). Il numero di modi con cui possiamo raggiungere il vertice (1, 1) è

P₁ =  = 1

dove il fattore ½ serve ad eliminare la sequenza che comincia con S. Per il punto (2, 2) avremo  percorsi totali (il fattore ½ elimina sempre i percorsi che cominciano con S), ma dobbiamo togliere tutti quelli che iniziano con L e che hanno attraversato (1, 1). Quest’ultimo numero è dato da P₁ moltiplicato per il numero di percorsi da (1, 1) a (2, 2). Quindi

Analogamente, per calcolare P₃ avremo  percorsi totali che cominciano per L. Dobbiamo togliere i percorsi che iniziano per L e passano per (1, 1) (nota: questo set contiene anche i percorsi che attraversano sia (1, 1) che (2, 2)), e quelli che passano per (2, 2).

In generale, quindi, si ha

In conclusione, dato un rettangolo n×m (con n<m), quindi, il numero di percorsi non-predicibili che cominciano con L (PNPL) sarà dato dalla seguente espressione

Nel caso specifico di m=10, n=3 avremo quindi

Prima di passare alla dimostrazione della formula descritta sopra relativo al conteggio dei percorsi da A a B, facciamo alcuni commenti sulla definizione induttiva di Pk data sopra. In particolare, vogliamo cercare di capire se sia possibile ottenere una formula chiusa per Pk. Ci limitiamo qui a P₂, P₃, P₄ perchè li abbiamo calcolati, ma gli stessi calcoli possono essere ripetuti per Pk con k generico. Scriviamo i risultati precedenti in modo leggermente diverso

Calcoliamo ora le partizioni dei numeri 2, 3, 4, vale a dire i modi in cui possono essere riscritti come somme di numeri interi. Chiamiamo (non a caso) P(n) l’insieme dei modi in cui un numero intero può essere scritto come somma di interi. Avremo

Come vediamo immediatamente, c’è una relazione biunivoca tra ciascun elemento di P(2), P(3), P(4) e ciascuno degli addendi di P₂, P₃, P₄ (il fattore globale –½ presente in P₂, P₃, P₄ non modifica la relazione in questione). Ad esempio

dove il 3 rappresenta il numero di modi in cui è possibile la suddivisione, vale a dire i seguenti 3 modi

4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1.

Tuttavia, non esiste nessuna formula chiusa che dica quali e quanti elementi sono presenti in P(n), e data la relazione tra P(n) e Pn ci sentiamo di congetturare che non esista nemmeno una formula chiusa per Pn. Come piccola curiosità storica, il primo matematico a trovare una formula approssimata per il numero di partizioni di un intero è stato Ramanujan, e la sua famosa formula contiene (molto sorprendentemente) e, π, i, √2 e anche derivate.

Tornando a noi, l’ultimo ingrediente rimasto è la dimostrazione del fatto che il numero di percorsi da A a B di un rettangolo p×q (con p<q) è data da

#percorsi =

Dimostrazione: Per rappresentare l’idea della dimostrazione, usiamo un rettangolo (p=2)×(q=5), e per comodità lo orientiamo come in figura sotto (i vertici rossi hanno valore 1)

Dalla figura è chiaro che il numero di Tartaglia corrispondente al vertice B è uno dei coefficienti dell’espansione di (a+b)⁷, e in particolare il terzo coefficiente. Dato che

il terzo coefficiente dell’espansione di (a+b)⁷ sarà

Per p e q generici, è sufficiente notare che la rispettiva riga del triangolo di tartaglia è uguale alla somma dei lati del rettangolo (perché la linea tratteggiata in figura sopra avrà sempre lunghezza p), e noi cerchiamo il p+1-esimo coefficiente (perché stiamo contando i punti sulla diagonale di un piccolo quadrato di lato p, che quindi ha p+1 punti). Quindi abbiamo dimostrato che la relazione

#percorsi =

è valida.

Proprio mentre chiudevamo questo capitolo è arrivata ancora la soluzione di Franco57, anche lei imperdibile:

Ho avuto un’idea che rende la soluzione lampante ed evita i calcoli.

Nel disegno rappresento tutte le possibili sequenze di m Lune e n Soli come percorsi nella griglia m×n da A in basso a sinistra ad B in alto a destra, dove una statuina del Sole corrisponde ad un tratto orizzontale verso destra e una statuina della Luna ad un tratto verticale verso l’alto. La diagonale tratteggiata rappresenta le sotto-sequenze con tanti Soli quante Lune. Il numero di possibili sequenze predicibili o non predicibili, è ovviamente pari al numero di combinazioni di m Lune (oppure di n Soli) nella sequenza di m+n statuine, quindi vale .

Se la prima statuina è del Sole finisco in P’ e la sequenza è non predicibile. Se invece è della Luna finisco in P e può essere predicibile o meno. Sarà non predicibile se e solo se incrocia la linea tratteggiata, cioè se a un certo punto i Soli pareggiano le Lune. Nel disegno ho colorato in verde la prima parte di una tale sequenza, fino all’incrocio (al primo incrocio per la precisione) con la linea tratteggiata in Q, e in blu la seconda parte.

Qui viene l’idea: se faccio una riflessione rispetto alla linea tratteggiata del sotto-percorso in verde ottengo un sotto-percorso, qui rappresentato in rosso, che parte da P’ e arriva in Q. Se poi lo raccordo col sotto-percorso in blu ho come risultato un percorso generico da P’ a B! È facile verificare che viceversa ogni percorso da P’ a B corrisponde in questo modo a un percorso da P a B che incrocia la linea tratteggiata. (Nell’esempio la sequenza non predicibile iniziante per L LLSLSSSLLLLLSLLLLSLLLS diventa SSLSLLSLLLLLSLLLLSLLLS, ovviamente anch’essa non predicibile, invertendo L con S nelle prime 6 posizioni, esattamente quando il numero di Soli raggiunge il numero delle Lune.)

Insomma ho trovato una corrispondenza biunivoca che mi dice che le sequenze non predicibili che passano da P sono tante quelle che passano da P’.

Allora le sequenze non predicibili sono in totale

.

Per trovare quelle predicibili tolgo a tutti i percorsi da P a B quelli che toccano la diagonale tratteggiata, quindi ottengo

.

Si chiede poi, mi pare, per quali valori di m e n le sequenze predicibili sono più di quelle non predicibili: Pm,n≥NPm,n diventa

,

cioè

che si semplifica in m≥3n.

Dunque se le Lune sono 3 volte i Soli allora ci sono tante sequenze predicibili quanto non predicibili.

Adesso prendiamo il fiato e ci fermiamo a riposare per un paio di mesi. Alla prossima!

5.    Quick & Dirty

Dati tre cerchi di raggio r mutuamente tangenti, le parti delle circonferenze comprese tra i punti di tangenza sono cancellate, lasciando una figura a trifoglio.

Qual è il perimetro del trifoglio?

6.    Pagina 46

Siano A’ e B’ i punti medi rispettivamente dei lati BC e CA, le cui lunghezze siano rispettivamente a e b e supponiamo sia a>b, come nel disegno a fianco (dovendo i punti H, N, G, Q e O essere distinti, non è possibile che sia a=b). Siano inoltre D e E i piedi delle altezze da A e B e siano P e P’ i punti di intersezione delle altezze AD e BE con i bisettori perpendicolari dei lati AC e BC. Quindi, il quadrilatero OPHP’ è un parallelogramma.

Essendo l’angolo in C di 60°, dai triangoli rettangoli ACD e BCE si ricava CD=CA/2=b/2 e CE=CB/2=a/2, quindi:

 DA’ = CA’ – CD = ½(a – b) e B’F = CE – CB = ½(a – b)

ossia il parallelogramma OPHP’ è un rombo, in quanto le distanze tra le coppie di lati paralleli sono uguali.

Essendo i lati dell’angolo POP’ perpendicolari ai lati dell’angolo ACB, si ha che l’angolo POP’ vale anch’esso 60°; dato che la diagonale di un rombo biseca gli angoli che connette, si ha anche che POH=HOP=30°.

Noto che nella linea di Eulero di un qualsiasi triangolo i punti sono posizionati in modo tale che il centroide G divide il segmento che unisce il centro dei nove punti al circocentro O in un rapporto 1:2, possiamo introdurre un sistema di coordinate centrato al punto medio Q di NO e quindi avere N=(0,3), G=(0,1) e O=(0,–3).

Segue quindi che la retta OP, formando un angolo di 30° con l’asse y, ha un coefficiente angolare pari a tan 60° = √3 e equazione y = √3x – 3, mentre la parabola con fuoco in G e vertice in Q ha equazione y = ¼ x².

Si verifica facilmente che OP è tangente alla parabola nel punto P(2√3, 3), come richiesto; per simmetria, l’altro bisettore perpendicolare (OP’) è tangente alla medesima parabola in P’(–2√3, 3).